Zeitkonstante beim Einschalten der Spule

Am 18.10.10 16.28, schrieb ?artin ?rautmann:

Die Induktivität "verschwindet nicht", sondern man kann sie unter bestimmten Voraussetzungen im Modell durch einen Kurzschluss beschreiben. Die Induktivität ist aber immer noch da...

Volker.

Dirk Ruth schrieb:

Hallo,

und wenn man bei der Spule wie beim Kondensator mit dem Widerstand multiplizieren würde ergäbe sich V * V * s / A * A, man könnte nicht kürzen und das Ergebnis könnte keine Zeitkonstante sein.

Bye

Hm, ja, das ist richtig. Aber das macht's noch nicht verst=E4ndlich.

Du meinst in beiden F=E4llen nur den Einschaltvorgang? Ist denn beim Kondensator der Stromabfall, bei der Spule die Spannungs=E4nderung nicht genau synchron dazu? Das Tau ist doch das gleiche?

Das ist garnicht so schlimm. Deiner Antwort entnehme ich, dass Du Dich mit Differenzialgleichungen möglicherweise noch nicht beschäftigt hast?

Wo klemmt es denn konkret bei Dir?

Steck mal einen hölzernen Rührquirl in ein Honigglas und bewege den nach oben: wenn Du langsam ziehst, bleibt das Glas auf dem Tisch. Ziehst Du ruckartig schnell, reißt Du das Glas vom Tisch. Vorsicht, hinterher liegen u. U. Splitter, sauber vermengt mit Honig in der Küche. Ist nicht schön beim Saubermachen.

Warum? Ein einfaches Modell: wir setzen eine Kraft F, die auf das Honigglas wirkt, als proportional zur Geschwindigkeit an. Die Geschwindigkeit v ist die erste Ableitung des Ortes x nach der Zeit t:

v = dx/dt

Die Proportionalitätskonstante nennen wir b. Dann gilt:

F = b * v = b * dx/dt

Wird dx/dt groß, dann fliegt das Glas vom Tisch, weil die Schwerkraft überwunden wird. Kann man ohne Sauerei auch gut auf einer Küchenwaage verifizieren. Mit dem zähflüssigen, klaren von Lengnase klappt das Experiment erstaunlich gut.

Solche Grenzfallbetrachtungen sind durchaus anschaulich begreifbar: Stell Dir vor, Du sollst eine Torte komplett an Deine Gäste verteilen. Bei 12 Gästen wird der Winkel phi an der Tortenspitze gerade

phi = 30°

betragen. Die Zahl n der Gäste, die Du versorgen kannst, wird

n = 360°/phi

sein. Wenn Du die Tortenstücke unendlich schmal machst, kannst Du unendlich viele Gäste versorgen.

Volker.

Am 18.10.10 16.38, schrieb Timo Roman:

Für Spannung U und Strom i an einem idealen Kondensator mit der Kapazität C gilt der Zusammenhang:

i = C * dU/dt

Für Spannung U und Strom i an einer idealen Spule mit der Induktivitität L gilt der Zusammenhang:

U = L * di/dt

Das gilt jeweils allgemein, also auch für Schaltvorgänge oder Wechselspannung bzw. -strom beliebiger Kurvenform - auch für Gleichspannung bzw. -strom. Es ist auch egal, ob man den Strom in Abhängigkeit der gegebenen Spannung oder die Spannung in Abhängigkeit eines gegebenen Stromes berechnen möchte. Dies sind einfach Modelle für den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom - wie beim ideal ohmschen Widerstand R:

U = R * i

Weil L und C Speicher darstellen, kommen die Differenzialquotienten dU/dt bzw. di/dt ins Spiel.

Volker.

=BCr tau bei

s tau

Im Prinzip ist die Frage an der Stelle [*] im folgenden Text mit der Aussage "diese Frage ist falsch gestellt" bereits gekl=C3=A4rt. Man kann = aber theoretisch tiefer einsteigen, und tats=C3=A4chlich aus der Mathematik rauskitzeln, dass tau=3D0 gelten muss. Wenn der Leser dadrin den Faden verliert, kann er versuchen, alternative Gedankeng=C3=A4nge ab [**], die = nicht so formelverhaftet sind aufzugreifen.

Das besondere bei R=3D0 ist, dass dann an einer Spule nichts mehr den Stromanstieg bremst, die Spannung an der Spule ist also unabh=C3=A4ngig v= om bereits flie=C3=9Fenden Strom. Damit ist der Stromanstieg auch unabh=C3=A4= ngig vom bereits flie=C3=9Fenden Strom, n=C3=A4mlich einfach U/L. Wenn zum Zei= tpunkt 0 die Spannung eingeschaltet wurde, ist Strom und Zeit proportional, es gilt I(t) =3D t U/L.

Jetzt kommt das Problem: Man versucht diesen Verlauf des Stromes mit der in diesem Grenzfall unpassenden Formel=20 I(t) =3D I_inf(1-exp(-t/tau)) zu beschreiben [*]. Diese Formel enth=C3=A4lt den Term I_inf, der den Str= om zum Zeitpunkt T=3Dunendlich angibt, und auch der maximale Strom ist (wenn man= mit einem geringeren Strom anf=C3=A4ngt). Da ohne Widerstand der Strom =C3=BC= ber alle Grenzen wachsen kann, muss I_inf=3Dunendlich gelten (was man auch aus I(t=3Dunendlich) =3D unendlich * U / L erh=C3=A4lt). Leider wird es dann = ziemlich abgedreht, da das Rechnen mit Unendlichkeiten unter "eher unbequem und unintuitiv" f=C3=A4llt.

Es ist offensichtlich, dass der Strom in endlicher Zeit nicht bis ins unendliche gestiegen sein kann, denn die Stromanstiegsrate ist ja eine endliche Konstante, n=C3=A4mlich U/L, siehe oben. I(t) kann also nur endl= ich sein, wenn das Produkt aus I_inf und 1-exp(-t/tau) endlich ist. Dummerwei= se ist I_inf unendlich, also kann es eine im Grenzwert endliche L=C3=B6sung = nur f=C3=BCr

1-exp(-t/tau) =3D 0, also exp(-t/tau) =3D 1 geben. Und damit die Exponentialfunktion den Wert 1 hat, muss ihr Argument 0 sein. Da t ja gr=C3= =B6=C3=9Fer null ist, kann -t/tau nur dann null sein, wenn tau unendlich ist. [**] Eine alternative Betrachtungsweise ist, dass die Zeitkonstante "tau" angi= bt, wann der Endwert bis auf 34% erreicht ist. Da der Endwert ohne Widerstand unendlich ist, gibt tau an, wie lange es dauert, bis 66% von Unendlich, a= lso immernoch unendlich erreicht ist. Das dauert nat=C3=BCrlich unendlich lan= ge.

Eine dritte Betrachtungsweise schaut eine Ableitung nach der Zeit h=C3=B6= her rein. Die Zeitkonstante gibt ja nicht nur an, wie lange der Wert bis 34% vom Endwert braucht, sondern genauso, wie lange es dauert, bis dessen =C3=84nderungsrate (die erste Ableitung nach der Zeit) auf 34% des Startw= ertes gefallen ist. Da ohne Widerstand die =C3=84nderungsrate des Stroms (dI/dt= ) eine Konstante ist, bleibt die =C3=84nderungsrate konstant, also dauert es une= ndlich lange, bis sie auf 34% gesunken ist.

Gru=C3=9F, Michael Karcher

[...]

Genau. Du erh=C3=B6hst den Strom durch eine Spule, wenn Spannung an der S= pule anliegt. Spannung, die am Widerstand abf=C3=A4llt, f=C3=A4llt nicht an de= r Spule ab, und hilft somit nicht, den Strom durch die Spule zu erh=C3=B6hen. Je gr=C3= =B6=C3=9Fer der Widerstand ist, um so fr=C3=BCher (also schon bei geringeren Str=C3=B6= men) nimmt er der Spule die Spannung weg, also um so schneller kommt der Stromanstie= g zum Erliegen. Deshalb gibt es bei einem h=C3=B6heren Widerstand eine klei= nere Zeitkonstante.

en Strom.

=C3=9Fer. Und hier bist Du auf dem Holzweg gelandet ;) Im Einschaltmoment ist der Strom 0, und der Spannungsabfall am Widerstand auch (genau andersherum al= s beim Kondensator!). Dadurch h=C3=A4ngt die Geschwindigkeit, mit der der S= trom im Einschaltmoment ansteigt eben gerade *nicht* vom Widerstand ab - er verringert den Strom noch nicht.

Allerdings beeinflusst der Widerstand, welcher Strom am Ende durch die Sp= ule flie=C3=9Ft. Je gr=C3=B6=C3=9Fer der Widerstand, desto kleiner der Endstr= om, denn am Ende f=C3=A4llt ja die komplette Spannung am Widerstand ab. Wenn jetzt mit der gleichen Anstiegsgeschwindigkeit gestartet wird, aber ein geringerer Endw= ert erreicht wird, muss st=C3=A4rker gebremst werden - und das dr=C3=BCckt di= e kleinere Zeitkonstante aus.

Gru=C3=9F, Michael Karcher

Man leitet das aus den Einschaltvorgängen ab.

Es gibt keinen Stromabfall. ;-))

Widerstand und Kondensator in Reihe beim Einschalten: Der Kondensator ist ungeladen und es fließt sofort ein hoher Strom. Der Spannungsabfall über dem Widerstand ist groß (wegen hohem Strom). Über dem Kondensator baut sich nach einer e-Funktion die Spannung auf und der Strom fällt nach einer e-Funktion.

Widerstand und Spule in Reihe beim Einschalten: Die Spule ist ohne Magnetfeld und es fließt kein Strom. Spannungsabfall über der Spule ist groß (da kein Strom, Widerstand der Spule ist viel größer). Durch die Spule fängt nach einer e-Funktion der Strom an zu fließen und der Spannungsabfall über der Spule wird kleiner nach einer e-Funktion (wegen steigendem Stromfluss, wird Spannungsabfall über dem Widerstand größer).

Strom und Spannung verhalten sich also beim Kondensator und bei der Spule genau entgegengesetzt.

Wie kommt man auf tau? Die Differenzialgleichung für die Spule wurde hier bereits genannt. Wenn man diese DGL auflößt, indem man sie integriert, dann erhält man die besagte e-Funktion mit dem Exponenten

Für die RC-Schaltung: e^(-1/RC *t) t = Zeit

Für die RL-Schaltung: e^(-R/L *t)

Die Terme R*C und R/L bestimmen die Zeitkonstante des Strom-/Spannungsanstieges, sagen aus, wann Strom und Spannung jeweils auf 63% ihres Endwertes (den sie theoretisch nie erreichen werden) angestiegen sind.

Dirk

Dirk Ruthschrieb: "

Nachtrag: Ich vermute, wo dein Denkfehler liegt und will mal versuchen, das an einem Beispiel zu demonstrieren.

1.Fall U = 1V, R = 100Ohm, L = 10H => tau = 100ms, d.h. nach 100ms hat der Strom 63% seines Endwertes erreicht. Bei 1V / 100Ohm => Iend = 10mA. 10mA * 63% sind 6,3mA.

1. Fall U = 1V, R = 50Ohm, L = 10H => tau = 200ms, d.h. nach 200ms hat der Strom 63% seines Endwertes erreicht. Bei 1V / 50Ohm => Iend = 20mA.

20mA * 63% sind 12,6mA.

==> die 6,3mA im Fall 1 werden schneller (nur 100ms) trotz größeren Widerstandes erreicht. die 12,6mA im Fall 2 werden langsamer (200ms) trotz kleineren Widerstandes erreicht.

Liegt einfach daran, dass sich das tau auf den Endwert des Stromes bezieht und der ist bei kleinerem Widerstand einfach größer, braucht also mehr Zeit bei der gleichen Spule.

Dirk

Tut er nicht. Der Anstieg ist unmittelbar am Anfang exakt genauso steil. Der Endzustand ist aber bei einem niedrigeren Strom zu finden. Relativ zum Endstrom ist deswegen der Anstieg steiler.

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David Kastrup

Naja, die Spule verschwindet nicht komplett. Das liegt daran, daß es für R=0 eben wegen tau -> unendlich formal keinen Gleichspannungsfall gibt. Denn: Gleichspannung ist eine Näherung, die nur für den eingeschwungenen Zustand gilt. Eingeschwungen heißt: ausreichend viele taus sind vergangen. Was natürlich für den Grenzfall tau -> unendlich erst nach x-mal unendlich Zeiteinheiten zutrifft, also de facto nie.

Ich versuche es mal. wir haben also eine ideale Spule an einer idealen Spannungsquelle. Seien einfach mal alle Zahlenwerte = 1, das spart Rumrechnerei. Rein formelmäßig ist die Spannung an einer Spule proportional zur Stromänderung pro Zeiteinheit, also U=L*di/dt. Da U und L konstant sind, muß demzufolge auch der Stromanstieg konstant sein. Lege ich also an die Spule (1 H) eine Spannung von 1 Volt an, so steigt der Strom durch die Spule kontinuierlich um 1 Ampere pro Sekunde. Der Strom beträgt also nach einer Sekunde 1 Ampere, nach zwei Sekunden 2 Ampere, nach drei Sekunden 3 Ampere und so weiter. Das ist im übrigen kein exponentielles Wachstum sondern lineares. Anschaulich wurde Tau als die Zeit erklärt, die der Strom (oder die Spannung bei nem Kondensator) braucht, um auf 68% des Endwertes anzusteigen. Da es bei streng linearem Wachstum aber keinen Endwert gibt (immernoch angenommen, die Bauelemente sind ideal, liefern als Spannungsquelle beliebig viel Strom), sind auch die 68% nie erreicht. =>

Tau= unendlich.

War das anschaulich genug oder ist etwas unklar geblieben?

Gruß, Florian

Danke, perfekt! Martin