Widerstandsrätsel

Natürlich. Man sucht die Punkte gleichen Potentials. Es ergeben sich fünf "Potentialebenen". Zwischen jeder dieser Ebenen gibt es nur eine einfache Parallelschaltung von Widerständen zu betrachten.

Zwischen Ebene 1 und 2 sowie 4 und 5 sind es je vier Widerstände. Also

Zwischen Ebene 2 und 3 sowie 3 und 4 sind es je 8 also 1/8R.

Die vier "Interebenenwiderstände" sind in Reihe geschaltet.

So einfach ist das natürlich nur, wenn alle Widerstände gleich sind.

Denke, das ist wirklich elegant. Daß es gleiche Potentiale sind, war mir klar, aber ich war mir nicht sicher, daß man das dann so behandeln kann, als wäre es auch tatsächlich elektrisch verbunden.

Wie sieht es aus, wenn man den Gesamtwiderstand an den beiden Anschlüssen eines Widerstandes misst? Da sehe ich jetzt keine einfache Möglichkeit.

Na klar. Wenn man das Teil so in ein Kooerdinatensystem schiebt, daß Quell- und Zielknoten auf der Y-Achse liegen, dann ist aus Symmetrie- gründen klar, daß alle Punkte mit gleicher Y-Koordinate das gleiche Potential haben (das sind 3 x 4 Punkte). Man kann diese Punkte also zusammenfassen (man stelle sich eine leitende Ebene dort eingefügt) und bekommt diese Kette (hier 90° gekippt dargestellt)

X---[R/4]--+--[R/8]--+--[R/8]--+--[R/4]---X

Die + markieren die zusammengefaßten Punkte gleichen Potentials. Nach Adam Riese sind das dann zusammen 3/4 R

Du hast zuviel Freizeit.

XL>

Ich auch nicht. Ich hab's jetzt nicht wirklich intensiv durchdacht, aber aus dem Bauch raus würde ich sagen, daß es dann keine zwei Punkte mit gleichem Potential gibt. Also ist's auch nix mit entsprechenden Vereinfachungen des Netzwerks.

Komisch, bei Dir liest sich das so elegant, und der Prof in ET1 fand es damals doof ;)

Und zu viele Widerstände.

• Frank Buss [08-08-11 21:56]:

Für Leute, die keine krankhafte Angst vor dem unendlichen haben (auch den Titel-Text des Bildes beachten ;))

Is ja trivial. Man muss halt in diskreten Koordinaten rechnen können :-) Is auch zig tausend mal im Netz schon durchgekaut.

Lars Noschinski schrieb:

Ich würde als Lösung 0 Ohm vorschlagen.

Unendliches Gitter und unendliche Parallelschaltung...

Grüße Björn

Trivial finde ich es nicht. Das Problem mit direkt diagonal gegenüberliegenden Punkten in einem unendlich großen Gitter von Widerständen gibt als Lösung 2/pi. Nicht unbedingt etwas, was man erwarten würde. Wie sieht die Lösung für das Comic aus?

Sind ja erstmal 4 Widerstände, die von einem Punkt ausgehen, sodaß die unterste Grenze 1/4 Ohm ist, plus dann die weiteren Widerstände.

Die 2/pi kommen vom komplexen log.

WIMRE muss man dafür die Poisson-Gleichung lösen. Hier halt in diskreten Koordinaten. Gitter Green-Funktion oder so.

Hier ein Hinweis auf die Lösungsmöglichkeiten:

Siehe "On the resistance of an infinite square network of identical resistors - : Theoretical and experimental comparison", Asad et.al. in The European physical journal B, 2006, 52, pp. 365-370

Ich hatte das hier gefunden:

Scheint von einer trigonometrischen Funktion als Lösung eines Integrals mit Hilfe einer Fourier-Transformation zu kommen, aber die Details sind ein wenig zu hoch für mich. Und 3 Seiten voll mit Mathematik würde ich jetzt nicht unbedingt als trivial bezeichnen. Das Verfahren müsste sich aber auch relativ leicht für die Comic-Aufgabe verwenden lassen.

Habe ich gerade nicht zur Hand :-)

Hübscher Ansatz. Lösung von Poisson ist hier eben mit räumlicher 2D Fourier gemacht. Macht man ja auch bei anderen periodischen Strukturen gern.

Ich versuchs heute über die Uni Biblio. Ev. haben wir ein Abo. Sonst fordere ich es an. Mal sehen ob ich es bekomme. (Mail folgt dann an interessierte ;-)

Wenn nicht, quäl ich mich (falls Zeit da ist) ein bisserl mit dem Neutsch (Koordinaten) und unserem Höhere ElDyn Skript... Ev. kommt ja was raus. Der Prof fährt hier die ganz harte Schiene und führt alles von Adam und Eva voll ab allgemeiner Mannigfaltigkeiten ein. Da sollt ja sowas abgedeckt sein. Manifest kovariant und co.

Allerdings ist ja in einem 2D-Gitter WIMRE der diskrete Laplace gleich dem kontinuierlichen, wenn das Gitter unendlich groß ist. Aber das ist bis jetzt nur eine Lückenhafte Erinnerung.