DFT

"Basti"

Entweder hat man dafür Real- UND Imaginärteil ODER ein gespiegeltes Etwas und davon nur Imaginärteil.

"Markus"

Achja. Und den Offset hätte ich fast vergessen ;-)

Markus schrieb:

Hmmm, danke f=FCr die schnelle Antwort aber mit dieser Aussage kann ich jetzt nicht so viel anfangen. Vielleicht war meine Frage auch nicht so gut gestellt, deswegen nochmal:

Ich habe ein Signal mit N werten. Das Signal besteht in der ersten h=E4lfte aus einem sinus mit fester frequenz. Ab der mitte des Signals habe ich dann einen sinus mit einer anderen Frequenz -> Frequenzsprung bei N/2 Jetzt mache ich eine DFT =FCber das gesamte Signal. Davon bekomme ich N komplexe Koeffizienten, wobei die zweite H=E4lfte der koeffizienten die konjugiert komplexen werte der ersten h=E4lfte sind. soweit ist mir alles klar.

Jetzt aber die Frage: Kann ich aus den Koeffizienten die ich jetzt habe mein signal wieder rekonstruieren? Bekomme ich also wieder diesen frequenzsprung bei N/2 her oder ist das rekonstruierte signal eine =FCberlagerung beider Frequenzen =FCber das gesamte signal?

Nochmal Danke f=FCr Antworten.

"Basti"

Mach dir mal klar, wie eine komplexe Zahl im der Gaussschen Zahlenebene aussieht und was der Winkel bedeutet.

Der Frequenzsprung beinhaltet im Fourierraum weitere Frequenzen. Man kann eine DFT so leider nicht einfach mit der FT vergleichen.

MfG,

Markus

Unscharf wird die Rücktransformation eher an den Rändern des Block. Deshalb lässt man Blöcke im Audiobereich immer überlappen.

Mfg,

Markus

Was ist denn dein Signal? Wenn Du N Werte hast ist es also eine Liste von Werten.

Das passiert nur wenn die Originalwerte rein reel sind.

Ja sicher. die DFT ist eine Transformation. Es wäre keine Transformation wenn sie nicht eindeutig und rückgängig wäre. Du darfst hier die Mathematik nicht mit der Anwendung verwechseln. Der Transformation ist es reichlich egal ob Du Nyquist einhältst oder nicht. Nur die Interpretation ist dann im Falle eines Falles nicht mehr sinnvoll.

Und wenn Du mit deinem Signal aus N Werten eigentlich ein kontinuierliches Signal meinst welches abgetastet wurde und du jetzt wieder dieses kontinuierliche Signal haben willst wird es nicht klappen weil so ein Frequenzsprung ein unendlich ausgedehntes Spektrum hat.

Am besten du schreibst einfach mal was du machen willst und wofür du diese Überlegung brauchst.

Tschüss Martin L.

Mir gehts zuerst nur um die Vorstellung, ob es m=F6glich ist dieses Signal wieder zu rekonstruieren. Dass vielleicht irgendwelche zus=E4tzlichen Frequenzen auftreten, weil ich einen Frequenzsprung drin hatte ist jetzt erstmal nicht so wichtig.

Wir k=F6nnen jedenfalls mal festhalten, dass ich meine zwei Hauptfrequenzen f1 und f2 im zur=FCcktransformierten Signal wiederfinde, und zwar zeitlich lokalisiert. Also f1 in der ersten H=E4lfte des Signals (zumindest grob) und f2 in der zweiten H=E4lfte Signals.

Jetzt dazu wozu ich diese =DCberlegung brauche: wenn ich diese frequenzanteile zeitlich voneinander getrennt wiederbekomme muss diese information ja in der Phase enthalten sein. Warum kann ich diese Information denn dann nicht direkt aus der Phase entnehmen sondern mache eine Kurzzeit-Fouriertransformation wenn mich das zeitliche auftreten von Frequenzen innerhalb eines Signals interessiert?

Danke.

Hi Basti, Martin L. schreibt zu recht: die DFT ist umkehrbar und liefert (bis auf Rundungsfehler bei wertediskreter Darstellung) nach der inversen DFT wieder exakt die Eingangswerte.

was verstehst du unter "Phase" ? Ich glaube hier kann man nicht von Phase sprechen, denn eine Phase ist der zeitliche Unterschied zweier Sinusschwingungen _gleicher_ Frequenz! In deinem Fall also nicht anwendbar.

Wer zwingt dich dies zu tun? Wenn dich das _zeitliche_ Auftreten interessiert, dann _kannst_ du das =FCber eine DFT machen, musst aber beachten, dass du ggf. einen gro=DFen Fehler machst wenn du das Abtastinterval sehr klein w=E4hlst (sowas schliesse ich aus dem Begriff "Kurzzeit-FT" - Details hierzu siehe "Fensterfunktion"). Du kannst aber auch das ganze im Zeitbereich machen und die Zeit zwischen zwei Nulldurchg=E4ngen messen. Der Kehrwert daraus kann durchaus auch als "momentane" Frequenz interpretiert werden - der Begriff "Frequenz" ist aber in zeitlich so engen Grenzen nicht wirklich sinnvoll.

Ich denke das Verst=E4ndnisproblem besteht darin, dass du gedanklich von fest stehenden Sinusschwingungen ausgehst, "nat=FCrliche" Signale aber stets eine =DCberlagerung von unendlichen Sinusschwingungen sind (wenn auch die Anzahl der wirklich relevanten dabei zuweilen noch halbwegs =FCberschaubar bleibt). Wenn man sich aber mal von der "klassischen" Denkweise (=3Dstehender Sinus) verabschiedet hat und die (D)FT mehr als mathematisches Hilfsmittel beginnt zu verstehen, dann ist man schon eher auf dem richtigen Weg. Die (zugegeben sehr anschauliche) Tatsache, dass die Fourriertransformierte einer Funktion zuf=E4lligerweise das Frequenzspektrum des Signals zeigt, ist m=F6glicherweise in manchen F=E4llen eher verwirrend als dass es wirklich weiterhilft.

Gruss, andreas

Du möchtest Dich mit dem Zeitgesetz der Nachrichtentechnik befassen ;-)

Die DFT ist orthogonal bzw. unitär, es geht keine Information verloren.

Die _gesamte_ Zeitinformation steckt nachher in den Frequenzen (komplexe Zahl => Phase und Amplitude), aber wenn Du nur eine bestimmte Anzahl Abtastpunkte hast, dann hast Du _grundsätzlich_ eine entsprechend beschränkte Frequenzseparation (ich nehme bewußt nicht das Wort Auflösung, sonst kommt einer und sagt: "Die Periode kann ich doch beliebig genau messen". Ja, aber nur die Periode _einer_ Frequenz im Spektrum, so kein Geräusch da ist).

Was man machen kann, wenn das Signal etwas länger dauert und sich das Spektrum über die Zeit ändert und man das alles zusammen analysieren möchte:

Z.B. ein Fenster setzen und dieses gleitend über den Abtastpunkten verschieben und mehrere, sich typischerweise überlappende DFT ausführen. Dann erhälst Du ein 3D Bild: Zeit/Frequenz/Amplitude. Auch das läßt sich im Prinzip wieder umkehren.

Apropos Fenster: Again, die DFT ist orthogonal, aber sie zeigt _nicht_ das korrekte Leistungsdichtespektrum eines stationären Signalgemisches, denn durch das Ausschneiden der Abtastwerte für die DFT aus dem kontinuierlichen Strom von Abtastwerten findet eine Überlagerung mit einem Rechteck in der Zeitebene statt, welches zu Nebenlinien im Spektrum führt. Daher braucht es Fensterfunktionen oder Dinge wie das Wiener Khinchin Theorem.

Gruß Oliver

Das kann aber wichtiger sein, als Du jetzt annimmst. Wenn die beiden verschiedenen Frequenzen durch die Hintransformation eines realen Ereignisses in die Tabelle komplexer Zahlen hinein gekommen sind, bekommst Du sie auch wieder richtig zurück. Wenn Du die Tabelle dagegen "zu Fuß" erzeugt hast, d.h. den Sprung in der Frequenz irgendwie eingetragen hast, dann bekommst Du nicht das zurück, was Du vielleicht erwartest.

Norbert

Das Problem ist, dass zwar das zeitliche Auftreten der Frequenzen in der Phase der Fourier-Koeffizienten versteckt sind, aber mit denen man nicht viel anfangen kann. Trotzdem steckt die Information da drin, da die FT ja vollständig umkehrbar ist.

Zitat: "Die Funktion selbst beschreibt den zeitlichen Verlauf, nicht aber die Frequenzen. Bei einer Musikaufzeichnung beschreibt die Funktion selbst die durch die Schallwellen hervorgerufene zeitliche Luftdruckschwankungen; die Frequenzen, d.h. welche Töne gespielt werden, kann man der Funktion auf den ersten Blick aber nicht ansehen. Die Fourier-Transformierte dagegen zeigt sofort die Frequenzinformationen, wogegen die Zeitinformationen verborgen bleibt. Bei der Musikaufzeichnung etwa sagt sie, welche Noten gespielt werden, aber es ist sehr schwierig herauszubekommen, wann die Töne erklingen. (Wavelets, Die Mathematik der kleinen Wellen, S123)

Ich denke man schiebt dann ein kleineres Fenster zeitlich über die Funktion und transformiert nur diesen und kriegt so auch die Information, wann die Frequenz aufgetreten ist.

Ueberleg es Dir umgekehrt: Die Rücktransformation ist eine Überlagerung von Sinusschwingungen. Da diese periodisch sind, wird auch ein periodisches Signal entstehen.

Es ist also unmöglich ein unendlich ausgedehntes nicht periodisches Signal mit einer endlichen Anzahl Koeffizienten zurückzutransformieren.

Da Du aber eine endliche Anzahl Samples hast, geht ein Trick: Du stellst Dir vor, diese Datenreihe würde sich immer wieder wiederholen. Dann hast Du ein periodisches Signal, das Du vor- und zurücktransformieren kannst, und aus der Rücktransformation kannst Du wieder einen Bereich auswählen, der Deinem nicht periodischen Signal entspricht.

"Martin Laabs"

Das ist falsch. Du denkst/argumentiert hier wahrscheinlich mit Wissen über die FT. Eine DFT hat aber Blöcke und der Frequenzsprung hat dementsprechend ein Frequenzmaximum. Die höchste Frequenz bei 44,1kHz Abtasterate beispielsweise ist auch in der DFT noch maximal bei 44,1kHz. unscharf werden bei DFT immer die Ränder des Blocks. Warum genau das so war weiß ich nicht mehr.

"Oliver Bartels"

Das ist leider falsch Oliver, ;-) denn man überlappt ttransformierte Blöcke im Audiobereich nicht umsonst.

MfG,

Markus

"Basti"

Dein Frequenzsprung ist im Signal die höchste Frequenz. Also brauchst du dir nur den Winkel den der komplexe Wert der höchsten Frequenz in der Gaussschen Zahlenebene darstellt nachzuschauen und schon hast du deine Position des Frequenzsprungs in deinem Signalblock.

Und da du dich mit FT scheinbar GAR nicht auskennst sei dir hier auch die Formel genannt ;)

Winkel = arctan(imaginärteil/Realteil)

Die Position ergibt sich aus Winkel in Rad * Sampleanzahl.

MfG,

Markus

(Winkel in Rad * Sampleanzahl) / (pi/2).

Markus schrieb:

SCNR

Du willst noch etwas mehr lernen, denn es ist richtig:

Guckst Du unter "Fourier". Ob Matrix oder Formel spielt hier keine Rolle.

Und dann schaust Du Dir an, was ein Hanning Filter ist. Und klärst mal ab, wofür der Buchstabe "O" im OFDM steht.

Als besondere Aufgabe hätte ich noch zu bieten, mal nachzuschauen, wie das bei gängigen Audiokompressions- verfahren (MP3) ebenso wie bei der Videokompression wirklich und genau mit der Quantisierung abläuft und an welcher Stelle die Datenreduktion auftritt. Hint: Nicht bei der DFT, und auch nicht bei der DCT.

Und wenn Du mit Deinen Hausaufgaben fertig bist, darfst Du uns hier erläutern, was Sache ist und wann es Sinn macht, Blöcke zu überlagern und wann nicht.

Merke: Nur weil einer irgendwo Musik hört, ändert sich noch lange nicht die Mathematik ;-)

Gruß Oliver

In article , "Markus" writes: |> |> "Oliver Bartels" |> > Die DFT ist orthogonal bzw. unitär, es geht keine Information |> > verloren. |> |> Das ist leider falsch Oliver, ;-) denn man überlappt ttransformierte

Pft, Markus halt...

|> Blöcke im Audiobereich nicht umsonst.

Da hat man aber vorher schon kräftig die Koeffizienten ausgemistet und es ist nicht mehr garantiert, dass die Rücktransformation zweier unabhängiger DFTs an der Schnittstelle keinen Sprung macht. Hättest du jemals mal selber versucht, ein MPEG für Arme zu machen, wüsstest du das.