Diagrammi di Bode...

Ciao.

Dov'è lo zero all'infinito?!

Se i tuoi passaggi algebrici sono corretti (ed in effetti mi sembra che lo siano) le due f.d.t. devono essere uguali: avete semplicemente scritto la stessa cosa in due modi diversi. La fattorizzazione del Sedra Smith è molto utilizzata perché permette di esplicitare il guadagno in continua: per omega = 0 rad/s, infatti, il modulo dei fattori (1 + s * tau) vale 1 per cui il guadagno è dato semplicemente dalla costante che moltiplica tutto.

Eh, belle domande... il segno conta eccome però esistono le frequenze negative?! Domande "filosofiche" a parte, il diagramma del modulo non ne risente perché |(1 + j*omega*tau)| = sqrt(1^2 + (omega * tau)^2) |(1 - j*omega*tau)| = sqrt(1^2 + (-omega * tau)^2) = sqrt(1^2 + (omega * tau)^2). Il diagramma della fase invece ne risente: uno zero nel semipiano di destra presenta un diagramma di fase analogo a quello di un polo nel semipiano di sinistra.

Saluti,

Stefano B.

Mi scuso in anticipo se nel messaggio precedente non ho tagliato alcune parti del messaggio originale ma mi sembrava tutto più o meno utile...

Stefano B.

Tu fai il classico pasticcio di chi traccia i diagrammi di Bode per la prima volta: confondi le due costanti moltiplicative dei due modi diversi di scrivere la funzione di trasferimento (che comunque è ristretta a s=jw): una forma è quella con i poli e gli zeri espilciti, l'altra è quella con le costanti di tempo. Per tracciare il diagramma di bode è comodo e facile partire dalla forma con le costanti di tempo (quella da cui sei partito tu), infatti in questa forma (e solo in questa) la costante moltiplicativa rappresenta il guadagno statico (escludendo ovviamente il caso di zeri o poli nell'origine) che sul diagramma è la retta orizzontale da cui parti. Dunque a te non serve modificare la forma della funzione di trasferimento ma solo individuare poli e zeri. In definitiva la retta orizzontale giusta è quella a +20dB.

Il tuo altro pasticcio è quello di confondere i poli (o gli zeri) con le pulsazioni alle quali il diagramma è spezzato(ricordati che siamo nel caso s=jw dunque il polo non sarà mai coincidente con s, a meno che nella funzione di trasferimento non ci siano poli immaginari puri!), è vero che sono in modulo uguale e dunque se il polo è p= -10^2 rad/sec la spezzata sarà in w= 10^2 rad/sec ma sono concetti molto diversi e la loro uguaglianza in modulo deriva da una dimostrazioncina facile che si trova in tutti i libri che trattano i diarammi di Bode che qui mi sarebbe complicato riportare per intero. Te ne do una traccia: quando w uguaglia in modulo il polo allora |jw|=|p| ma siccome jw è immaginario e p è reale allora |1+jw/p|= sqr(2)= 3dB (è il punto dove il diargamma è sezzato), poi se w|p| allora |1+jw/p| è circa=w (e quindi il diagramma coincide con la retta inclinata di -20dB/decade).

Ciao

Pierluigi.

"Stefano B." ha scritto nel messaggio news:WQFxe.33337$ snipped-for-privacy@twister1.libero.it...

all'infinito appunto :)

Cosa vuol dire risolvere l'espressione? scritta cosi` va benissimo.

un polo scritto nella forma 1/(1+s/omega0) ha modulo unitario fino a s=jomega0 poi il guadagno scende con pendenza di 20 dB/decade. Si dice che il polo e` scritto in alta frequenza.

Suggerirei di tracciare prima il diagramma di bode in forma qualitativa, poi metti i valori dei guadagni.

Guardando la funzione vedi che c'e` uno zero nell'origine, un polo in

10^2 rad/s e uno in 10^5 rad/s.

Il che vuol dire che se parti da sinistra a disegnare il diagramma, inizialmente il grafico sale fino a omega=100 rad/s, dove trova il primo polo, poi rimane piatto fino a omega=10^5 rad/s e poi scende con 20 dB/decade. Ovviamente sto lavorando sul diagramma asintotico, quindi tratti dritti e punti angolosi

Rimane da trovare il guadagno nel tratto in piano, che si estende da omega=100 rad/s a 100000 rad/s.

Un modo comodo puo` essere questo (cosi` risolvi tutti i problemi in un colpo solo). Ti metti alla pulsazione omega=100 rad/s, cioe` in corrispondenza al primo polo. Il secondo polo, quello a 100000 rad/s e` ancora di la` da venire, e quindi il suo contributo (essendo scritto in alta frequenza) e` 1. Anche il polo in 100 rad/s da` un contributo al modulo pari a 1, perche' siamo proprio in corrispondenza del polo (ricorda, siamo sui diagrammi asintotici, su quelli veri saremmo sotto di 3 dB).

Allora a 100 rad/s i due poli danno contributo unitario al modulo. Resta da vedere il numeratore. Se al posto di s sostituisce j 100 rad/s, trovi che il numeratore in modulo vale 1000, quindi 60 dB, che e` il guadagno in banda piatta.

Se invece vuoi tracciare il grafico come somma dei tre contributi, disegni un primo polo con guadagno unitario e posizionato in 100 rad/s, un secondo polo sempre a guadagno unitario in 100000 rad/s: questo lo si puo` fare perche' i poli sono scritti "bene" con guadagno unitario in continua.

Resta da tracciare lo zero nell'origine (tratto in salita con pendenza

+20 dB/decade). per sapere dove il grafico dello zero incrocia l'asse a zero dB, devi chiederti: per quale valore di omega il modulo del numeratore j 10 omega vale 1? la risposta e` omega=0.1 rad/s e quindi puoi tracciare il contributo dello zero (retta in salita che passa a 0dB a 0.1 rad/s). Sommi graficamente i tre contributi e sei a posto.

I poli sono numeri complessi messi nel piano s: i due che hai trovato sono a -100 secondi alla meno uno e a 100000 secondi alla meno uno (non scrivo il simbolo perche' temo non venga bene con gli esponenti).

Sono poli reali che abitano sull'asse reale, nel semipiano di sinistra.

Quando disegni il diagramma di bode, parti dall'origine del piano s e sali lungo l'asse immaginario, e guardi quanto vale il modulo e la fase della funzione in s valutata lungo l'asse immaginario.

Se i poli avessero avuto parte reale positiva (poli instabili), salendo lungo l'asse j, li avresti visti "a destra" in posizione simmetrica, ma l'effetto sul modulo, *ripeto: mentre cammini sull'asse immaginario* e` sempre lo stesso. Cambia invece l'effetto della fase.

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Franco

Herz, mein Herz, sei nicht beklommen und ertrage dein Geschick.
(H. Heine)

In quella f.d.t. non c'era nessuno zero all'infinito...

Stefano B.

C'e`: dato che ci sono due poli e uno zero al finito, c'e` anche uno zero all'infinito. Vedi cosa fa la funzione per s->oo

Oppure prova a sostituire ad s la variabile s=1/t (cioe` ribalti l'asse delle ascisse) e vedi che c'e` uno zero nell'origine nella variabile t, e quindi uno zero all'infinito in s.

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Franco

Herz, mein Herz, sei nicht beklommen und ertrage dein Geschick.
(H. Heine)

Al numeratore c'è un polinomio di primo grado, mentre al denominatore (moltiplicando) ce n'è uno di secondo grado. Dunque per s che tende ad infinito, il denominatore domina e la fdt tende a zero.

Semmai, il problema è che il libro definisce "zero" come "radice che annulla il numeratore", e in questo caso non mi pare lo sia.

Però, lo ammetto :), dice anche che per valori di s "molto grandi di tutti gli zeri e i poli", la fdt diventa circa uguale a [a_m]/s^(n-m). Dove a_m è la costante moltiplicativa di s^m al numeratore della fdt (numeratore che è di grado m, mentre il denominatore è di grado n).

In questo caso, sarebbe circa uguale a 10/s^(2-1), cioè *uno* zero.

Però, ripeto, non viene mai chiarito a cosa serva tale zero.

Le due fdt sono certamente uguali, ma scritte in modo algebricamente diverso. Ho postato qui proprio per capire perché si giunga a risultati diversi, nonostante le fdt fossero uguali. :-) (vedi altro post)

Grazie per il resto! T.

La costante moltiplicativa è definita come il "coefficiente del fattore s^m al numeratore" (di grado m). Cioé:

(s-Z1)(s-Z2)...(s-Zm) T(s) = a_m * ----------------------- (s-P1)(s-P2)...(s-Pn)

io sono giunto a questa:

(s-0) T(s) = 10^8 -------------------------- (s + 10^2) * (s + 10^5)]

a_m dunque dovrebbe essere 10^8. zero in s=0 e poli in -10^2, -10^5.

Che a_m rappresenti, nella forma con le costanti di tempo, il guadagno statico non viene mai detto (almeno prima dell'esercizio). Anche perché fino all'esempio *non* viene mai presentata la forma con le costanti di tempo (il nome di tale forma lo sto imparando da te, mentre in un altro ng l'han chiamata "forma di Bode").

Come ricorda anche Stefano, comunque, il guadagno statico è quello per s=0. In questo caso, per s=0 la fdt diventa una forma indeterminata: ecco (forse) rivelato l'arcano della necessità dell'altra forma e dell'errore mio (ma il libro non è molto chiaro su ciò) a considerare l'a_m della forma con zeri e poli espliciti come guadagno statico.

Ok, chiarissimo.

Grazie mille anche per questa spiegazione!

Saluti. T.

"Risolvere" non era proprio il verbo adatto da usare, ma, come ho detto nell'altro post, sul libro la forma con le costanti di tempo non era mai stata usata prima: quindi io cercavo di metterla nella forma conosciuta, cioè quella "tipica" con le radici in evidenza.

Per quanto sappia già tracciarli, mi piace questo metodo. :-) Ti ringrazio per la disponibilità e la spiegazione!

Il problema era solo per s=0, con la costante moltiplicativa che, ora ho capito, solo nella forma con le costanti di tempo equivale al guadagno statico. Uhm... mi è venuta in mente una cosa, ma ho troppo sonno :)

Su questo ci rifletto un po' meglio domani.

Saluti. T.

PS. non avevo visto che hai risposto già anche a Stefano sullo zero ad infinito. Ma a cosa serve? Per tracciare il grafico è stato inutile. Inoltre uno zero ad infinito sembrerebbe anche praticamente inutile...

dovresti dare una ripassatina alla nozione di limite nel campo complesso

Urgh, hai ragione :-( Grazie per la precisazione!

Stefano B.

I will...

Per sistemi con una banda passante che non parte da 0 Hz, c'e` un'altra forma con cui si possono scrivere i guadagni, forma che mostra in un colpo solo la posizione dei poli e il guadagno in banda.

Il polo in alta frequenza lo si scrive nel modo solito (polo in alta frequenza), 1+s/omegah mentre il polo in basso lo si scrive come polo in bassa frequenza, in questa forma 1+omegaL/s detto anche polo inverso. In questo modo, per pulsazioni maggiori di omegaL, il fattore vale 1, e si mette in evidenza il guadagno in centro banda. Nel tuo caso si avrebbe

1000/((1+10^2/s)(1+s/10^5))

si ha lo svantaggio che il polo inverso e` inusuale, e si perde l'indicazione visiva del polo in zero (esattamente come non si ha quella del polo all'infinito).

Se cominci a tracciare il grafico a partire da frequenza infinita, meglio sapere da dove si parte :-).

Sembra cosi`, ma c'e` lo stesso :-) In pratica garantisce che a frequenze sempre piu` alte l'attenuazione aumenta (a parte effetti parassiti)

--

Franco

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