Hallo,
Bei einer Fourier-Anlyse eines Signals nehme ich das zu analysierende Signal und nehme Sinusfunktionen der Reihe nach her und addiere diese Sinusfunktionen auf, drehe vorher noch geschickt an der Amplitude der Sinusfunktionen, und mache das solange bis das zu analysierende Signal mit
Amplituden-Frequenz-Spektrum des zu analysierenden Signals. Wenn das so nicht richtig ist, dann bitte korrigieren.
Wavelet-Transformation geht? Was ich bisher fand war doch sehr mathematisch
Sven
Hallo Sven,
Du schriebst am Fri, 31 Jan 2014 23:21:56 +0100:
... Nenene, so geht das nicht. Was Du hier beschreibst, ist nicht die Fourier-
en,
Reihe nach mit Sinus- und Cosinusfunktionen aller Frequenzen zuerst multiplizieren ("gewichten") und dann aufintegrieren (sog. "Faltung), ggfs. nach weiterer Multiplikation mit einer sog. "Fensterfunktion" ("Kurzzeitfourierspektrum").
Bei der Wavelet-Analyse funktioniert das im Prinzip ganz genauso, und
Hauptunterschied liegt in der Art der Gewichtungsfunktionen, die bei der Fourier-Zerlegung eben die trigonometrischen Funktionen sind (und damit
Wavelet-Analyse aber zeitlich begrenzte "Wellenpaket"-Funktionen.
Schritt in Richtung "Wavelet", indem sie die (eben prinzipiell unendlich ausgedehnten) trigonometrieschen Funktionen mittels der Fensterfunktion auf einen zeitlichen Signalausschnitt begrenzt. Allerdings beeinflussen diese "Fensterungen" das Ergebnis der Analyse, da die durch die Fensterfunktion begrenzten trigonometrischen Funktionen nicht mehr "linear
on,
rn.
near
es Signals in - damit aber nicht mehr reine Frequenz- - Komponenten zulassen.
rekonstruieren,
e direkt
eniger anschaulich. BTW, es gibt zudem nicht nur _ein_, sondern viele Systeme von Wavelet- Funktionen, im Gegensatz zu dem doch recht eindeutig definierten System der Sinus- und Cosinus-Funktionen.
Wavelet-Funktionen kann ich nicht auswendig liefern, aber die sind dort eingehend beschrieben und ggfs. sogar tabelliert.)
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Am 31.01.2014 23:21, schrieb Sven Schulz:
Tut mir leid, davon habe ich sicherlich noch weniger Ahnung, als Du,
Gregor
Am 31.01.2014 23:21, schrieb Sven Schulz:
Fast richtig. Du musst auch an der Phasenlage deiner einzelnen Sinusfunktionen drehen, bzw. die Fourier-Transformation liefert dir Betrag und Phase der Frequenzanteile, die du addieren musst, um dein Signal nachzubilden.
Man kann dann das Spektrum komplex, also getrennt in Real- und
Wavelet sagt mir jetzt nichts
Stefan
auf Analogrechner kann ich darin nicht wiederfinden.
zu tun. Vgl. Kalman-Filter und Butterworth-Filter: Terminologie ist
kommen. Man kann auf dem Weg z.B. Vergleich mit Walsh-Transformation
MfG JRD
Sven Schulz schrieb:
Wie man Wavelet-Transformationen berechnet oder gar implementiert, ist ohne Mathematik vermutlich nicht zu beschreiben. Ich will aber
vereinfache hier, man verzeihe mir also Ungenauigkeiten.
Die (diskrete) Fourier-Transformation (DFT) liefert Dir, wie Du schon festgestellt hast, das Spektrum (die Frequenzanteile) Deines gesamten
wieder abklingt. Das ist die Idee hinter der Kurzzeit-Fouriertransformation. So weit, so gut.
Nun interessiert Dich aber die Bassspur mit einer Grundfrequenz von 20 Hz bzw. einer Periodendauer von 50 ms. Davon passt nicht einmal ein halber Wellenzug in Deinen Block von 10 ms Dauer. Damit schafft die
liefern, mit der Du den Ton bei 20 Hz und seinen Oberton bei 40 Hz
Hier kommen die Wavelets ins Spiel. Das sind kleine "Wellchen", die
und welcher Phase sie im Signal wiederfindet, "schaut" die Wavelet-Transformation welche der Wellchen sie wie stark gestaucht an welcher Stelle im Signal wiederfindet. Sehr vereinfacht gesagt bedeutet Gleichung in [1], dass versucht wird, die Wavelets "?" mit verschiedenen Stauchungsfaktoren "a" an der zeitlichen Stelle "b" im Signal "x(t)" zu finden.
deren zeitliche Lage man exakter eingrenzen kann. Niedrige
Ich hoffe, das hilft etwas weiter.
Christian
[1]-- Christian Zietz - CHZ-Soft - czietz (at) gmx.net WWW: http://www.chzsoft.de/ PGP/GnuPG-Key-ID: 0x6DA025CA
Hallo Rafael,
Du schriebst am Sat, 01 Feb 2014 10:54:04 +0100:
nen
en. Im Fall der Fouriertransformation sind die Basisfunktionen die Sius- und
t), im Fall der Wavelet-Tranformation halt ein Satz geeigneter Wavelet- Funktionen.
Die Walsh-Transformation ist ebenfalls so eine Entwicklung nach einem - hier wieder anderen - Satz von Basisfunktionen, die wieder andere Eigenschaften haben.
Da gibt es nirgendwo "Kleingedrucktes" und keinerlei "Absonderlichkeiten", das ist Standard-Mathematik.
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Hallo Sven,
ich will auch mal ein paar Gedanke dazu in die Runde werfen. Dass die
streitbare Bild dabei entsteht, ist hoffentlich klar.
Wenn man nun das Ganze auf die Filterbetrachtung herunterbricht, stellen
bemerkt bei weitem nicht so schmalbandig sind, wie viele glauben). Im
logarithmische Verteilung der Bandbreiten zu nehmen. Es werden also
Details und den Tiefpassteil dann die Approximation. Letztere wird mit
logarithmischen Teilung) wieder in Detail und Approximation untergliedert. Die Wavelet-Paare sind nicht viel mehr, als die
bekanntlich verschiedenartige Optimierungen der Filtercharaktere gibt, gibt es ebensoviele Wavelet-Paare. Nimmt man nun also ein entsprechendes Wavelet-Paar und faltet das Ursprungssignal damit, filtert man eben das Ausgangssignal in Detail und Approximation auf. dann verbreitert man das Wavelet-Paar und wiederholt das auf den Approximationsteil.
trotzdem bei niedrigen Frequenzen noch ordentlich viele Frequenzen. Musikalisch gesehen ist das auch durchaus sinnvoll, da die Frequenzen der Tonleiter ebenfalls logarithmisch gestuft sind.
harre der Kritik. Ich freu' mich immer auf Hinweise, wie ich es meinen
Marte
Ein Kollege aus Uni Zeiten meinete mal Ende der 90er: "Wavelets sind auch
"Frequenzkomponenten", bezogen auf einen gewissen Betrachtungszeitraum
Wobei ich andererseit vor wenigen Jahren auch dachte, das Thema "Filterbank" sei ausgelutscht, man wende halt einfach das Lehrbuchwissen an. Auf einmal passten dann Theorie und Intuition nicht mehr zusammen,
Praxis und Theorie ....
Andersrum: Ohne theoretische Grundkenntnisse wirst du in dem Bereich nicht weiterkommen. Freundlicherwiese sind aber Theorie und Praxis eng
entwickeln.
Servus Wolfgang
Das hatte ich gelesen:
Sven
Am 31.01.14 23:21, schrieb Sven Schulz:
ohne Mathematik gehts vermutlich nicht. Aber in dieser Artikelserie ist es eigentlich ganz gut beschrieben:
Beispielen, Teil 1. tm technisches Messen, 67(2000)3
bis Teil 7, tm technisches Messen, 67(2000)10
[..]
Ingrid:
Die theoretischen Grundlagen (aber praktisch durchaus relevant) "from the horses mouth"/ "wer hats erfunden?" gibt es jetzt online:
Martin Vetterli & Jelena Kova?evi?: "Wavelets and Subband Coding" unter
usammenhang mit anderen Signalverarbeitungsmethoden dar, dann gehts etwas
Jahren) immer noch interessant. Martin Vetterli ist jedenfalls einer der beeindruckensten Wissenschaftler, die ich kennengelernt habe.
Servus Wolfgang
Ich hoffe, ich muss das nie implementieren :-)
Gregor
Das gibt es auch mit "weniger Ballast" in musikalischer Form:
-- Gruesse, Joerg http://www.analogconsultants.com/
Cool.
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