Siehe
Ich habe heute den ganzen Tag gebraucht, um meine "ad-hoc"-Dimensionierung bis ins letzte Detail herzuleiten (dachte, damit könnte ich die Seite ergänzen, dann finde ich meine Notizen auch immer wieder) und habe gerade exakt meine Dimensionierung wieder herausbekommen. Dummerweise sagt mir die Zwei-Punkt-Kalibrierung über die Geradengleichung, dass mein Messbereich nicht 0..50°C, sondern
-19°C..53°C ist, das macht mich bekloppt, scheinbar immer der gleiche Denkfehler, aber wo?
----------------------------------------------------------- Anmerkung: Um eine Verwechslung mit dem Rechenzeichen zu vermeiden, wird statt U+ die Bezeichnung UR für U-Referenz benutzt.
Zur genauen Berechnung der Widerstandswerte und der Ausgangsspannung, ist es hilfreich eine Ersatzschaltung aufzustellen: R1 und R2 erscheinen als einfacher Spannungsteiler, schaltungstechnisch ist aber ein Widerstand zur Einstellung der Verstärkung enthalten. Es ist daher sinnvoll, den Spannungsteiler in eine Ersatzspannung U0= UR * R1/(R1+R2) und einen Ersatzwiderstand R'= R1*R2/(R1+R2) umzuwandeln. Auf diese Art erhält man die Schaltung eines Elektrometerverstärkers mit einer virtuellen Masse U0 und einer Verstärkung v= 1 + R3/R'. Mit R3=
10k und R'= 909 Ohm erhält man eine Verstärkung von v= 12.
Mit R1 = R4 = Pt1000(0°C) erkennt man, dass bei einer Temperatur von 0°C am Ausgang des OpAmp die Spannung U0 anliegt. Da diese Spannung von UR abhängt, kann diese Schaltung eigentlich nicht als "ratiometrisch" bezeichnet werden - der "Nullpunkt" und damit der Aussteuerungsbereich sind von der Spannung UR abhängig. Wenn R4 kleiner als R1 wird (Temperatur unter 0°C) steuert der Ausgang von U0 Richtung Masse, um die Spannung am negativen Eingang "nachzuziehen", bei Temperaturen über 0°C dem entsprechend in Richtung positive Versorgungsspannung. Wenn die Widerstände bei 0°C gleich sind, muss der Ausgang die Spannung U0 annehmen, um eine Spannungsdifferenz zwischen den Eingängen zu verhindern.
Da U0 üblicherweise nahe an Masse liegt (R2 und R5 wesentlich größer als R1 und R4) muss bei asymetrischer Versorgungsspannung der Bereich der Eingangsspannung berücksichtigt werden und sollte die Masse einschließen.
Dimensionierungsbeispiel für PT100 und den Bereich 0°C bis 50°C:
Es wird eine Spannung von 5V als Referenzspannung UR und Messbereich des ADCs angenommen. Die Versorgungsspannung des Operationsverstärkers beträgt 12V und der Sensor ist steckbar, könnte also entfernt werden. Damit in diesem Fall der ADC nicht übersteuert wird, erhält der Operationsverstärker einen Spannungsteiler am Ausgang, der bei 12V eine Ausgangsspannung von 5V ergibt. Der gewünschte Temperaturbereich muss also in eine Aussteuerung von 0 bis 12V umgesetzt werden. Als Sensor wird ein PT100 eingesetzt und der gewünschte Temperaturbereich beträgt
0°C bis 50°C:
R4 = PT100 = 100 Ohm
Zuerst werden die Grenzwerte des Temperatursensors berechnet, wobei die lineare Näherung R = R0 · (1 + ? · t) mit ? = 3,85 · 10-3 / °C und R0 =
100 Ohm verwendet wird (dem Wikipedia-Artikel zum PT100 entnommen):
R(0°C) = 100 Ohm R(50°C)= 119.25 Ohm dR = 19.25 Ohm
Der Vorwiderstand des PT100 wird anhand des gewünschten Stroms definiert, üblich wäre ein Wert von 1mA, um die Eigenerwärmung zu reduzieren, mir sind 4mA aber lieber, weil das für den Anschluss über eine Leitung die Verstärkung und damit die Störungen reduziert
5V/4mA = 1250 Ohm minus RT liegt um die 1100 Ohm und als Standardwert wähle ich 1,2k: R5 = 1,2k
Der Spannungsteiler R1/R2 muss so gewählt werden, dass die positive/negative Aussteuerung um den Arbeitspunkt U0 den Spannungsbereich von 0..12V abdeckt. Dazu werden zuerst mit den Grenzwerten des Sensors die Grenzwerte der Eingangsspannung berechnet, mit UT= UR * RT/ (R5+RT):
U(0°C) = 0.385 V U(50°C) = 0.452 V dU= 67 mV
Damit lässt sich als nächstes die Verstärkung bestimmen, die die Eingangsspannungsdifferenz auf den Aussteuerbereich von 12 V umsetzt:
v= U/dU= 12V/67mV: v = 179
Damit U(0°C) bei einer Verstärkung von v eine Ausgangsspannung von 0V ergibt, muss die Spannung UE- um die Differenzspannung dU0 = UE+/v höher sein, als U(0°C):
UE- = U(0°C) + dU0= 0.385 + 0.385 / 179 => U0= 0.387 V
Zur Kontrolle kann man den positiven Ausschlag gegenrechnen:
dU(50°C) = U(50°C) - U0 = 0.065 V
Die entsprechende Ausgangsspannung errechnet sich:
UA= U0 + v* dU = 0.387 + 0.065*179 = 12.022 V
Die Gegenprobe trifft den gewünschten Wert von 12V also hinreichend genau.
Damit ist das Verhältnis des Spannungsteilers R1/R2 bekannt, denn U0/UR= R1/(R1+R2). Etwas umgeformt ergibt sich:
R2= (UR/U0 -1) *R1 = c* R1 mit c= 12 => R2= 12 * R1
Um den Offseteinfluss zu minimieren, sollten Operationsverstärker an den Eingängen den jeweils gleichen Eingangswiderstand haben, mit den bekannten Widerständen R4/R5 ergibt sich R'= R4*R5/(R4+R5) => R'= 92.3 Ohm = R1*R2/(R1+R2)
mit R2= c*R1 substituiert:
R'= c*R1*R1/(R1+c*R1) => R1= R' *(1+c)/c => R1= 100 Ohm
Mit R2= 12*R1 ergibt sich: R2= 1,2k
Mit dem Eingangswiderstand R' und dem bekannten Verstärkungsfaktor lässt sich abschließend über v= 1 + R3/R' => R3= (v-1) * R' = 16429 Ohm leicht der Widerstand R3 festlegen: R3= 15k
Abschließend muss noch der Ausgangsspannungsteiler für die Umsetzung der
12V-Aussteuerung auf den 5V-Messbereich dimensioniert werden, z.B. mit
1,2k auf 820 Ohm, um den Messbereich garantiert einzuhalten.