nachrichtentechnische / mathematische Frage

Simone Winkler:

Zerlegt in Realteil und Imaginaerteil: Re{ G(f) } = Re{ H(f)*F(f)+N(f) } = Re{ H(f)*F(f) } + Re{ N(f) } Im{ G(f) } = Im{ H(f)*F(f) } + Im{ N(f) }

Ein haeufiger Fehler in dem Zusammenhang ist:

Re{ G(f) } = Re{ H(f) } * Re{ F(f) } + Re{ N(f) } ( NICHT KORREKT )

Danach umsortieren. Wieder zu Betragsquadraten zusammenfassen. Betragsquadrat des Produkts in ein Produkt von Betragsquadraten zerlegen:

|H(f)*F(f)|^2 = |H(f)|^2 * |F(f)|^2

(Weswegen man das machen darf, solltest Du noch begruenden.)

Fertig.

Die Aufgabe ist eher zu einfach als zu schwierig.

Simone Winkler:

Zerlegt in Real- und Imaginaeranteil:

Re{G} = Re{H*F} + Re{N} Im{G} = Im{H*F} + Im{N}

..wobei das Rauschen nicht 'als Kurve aufgezeichnet', sondern nur statistisch erfasst werden kann.

Nein.

|G|^2 = |H*F|^2 + |N|^2 + 2*Re{H*F}*Re{N} + 2*Im{H*F}*Im{N}

Was ist die Kreuzkorrelation des unverrauschten Ausgangssignals mit dem weissen gaussschen Rauschen?

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!!

Allerdings will ich zeigen:

|G|^2=|H|^2*|F|^2+|N|^2

___________________________________________________________ und zwar einmal mit

und dann |G|^2=Re(G)^2+Im(G)^2

das ergibt

___________________________________________________________ Das soll aber das gleiche liefern wie (Re(H)^2+Im(H)^2)*(Re(F)^2+Im(F)^2)+(Re(N)^2+Im(N)^2)

das ergibt: Imf^2*Imh^2 + Imh^2*Rf^2 + Imf^2*Rh^2 + Rf^2*Rh^2 + Rn^2

===========================================================

da bekomm ich dann raus:

___________________________________________________________

Wie ist diese Frage gemeint? Für den disrekten Fall: Summe(x[k]*y[k+l]) mit k=0..n-1

Simone Winkler:

Nochmals: Nein. Das ergibt es durchaus nicht. Es ist unnoetig, Re{H*F} weiter zu zerlegen. Und so wie Du es zerlegst, ist es falsch. Wie zum Teufel kommst Du auf FUENF quadratische und DREI gemischte Glieder?

Binomische Formel liefert:

(Re{G})^2 = (Re{H*F}^2 + (Re{N})^2 + 2*Re{H*F}*Re{N} (Im{G})^2 = (Im{H*F}^2 + (Im{N})^2 + 2*Im{H*F}*Im{N}

Die quadratischen Terme kann man wieder zu Betragsquadraten zusammenfassen. Von |H*F|^2 auf |H|^2*|F|^2 zu kommen, duerfte hoffentlich kein Problem darstellen.

Es bleiben die zwei gemischten Terme.

Das Signal und das Rauschen duerften unkorreliert sein, nicht wahr? Denn es ist ein weisses Rauschen. Damit hat die Kreuzkorrelation einen bestimmten Zahlenwert. Tipp: Der Betrag dieser Zahl ist sehr klein.

klein se hr se hr se hr se hr klein

Das ist eine Kreuzkorrelation. Und das ist eine Faltung. Nach dem Faltungssatz ist eine Faltung im Zeitbereich gleich dem Produkt der Fouriertransformierten. (Bis auf einen Faktor, der von der genauen Definition der FT abhaengt.)

Da die Kreuzkorrelation diesen bestimmten, betragsmaessig sehr kleinen Zahlenwert annimmt, kann man mit wenig Rechnerei die oben genannten gemischten Terme durch diese Zahl ersetzen.

Damit sind die gemischten Terme erledigt, erschlagen und restlos ausgemerzt. Es bleibt genau das, was zu beweisen war.

Ich kenne mich gar nicht mit Nachrichtentechnik aus, aber ich kann mit komplexen Zahlen rechnen (* bedeutet komplex konjugiert):

|G|² = G* G = (H* F* + N*)(H F + N) = |H|²|F|² + |N|² + 2 Re(H* F* N).

Wenn H* F* N rein imaginär ist, dann ist gezeigt, was zu zeigen war.

Vielen Dank...:-))) Das hab ich komplett übersehen, man sollte vielleicht öfter denken, als stur herumzurechnen...

LG Simone