Boiler...e Laplace?

Questo non assicura che l'antitrasformata sia causale, devi specificare la regione nella quale calcoli l'integrale di inversione. Ad esempio questa funzione:

H(s) = 1(s+5) + 1/(s-2)

ha antitrasformata non causale in -5 un impulso. Quest'ultimo ha trasformata di Laplace pari a una costante

Perchè? Io direi che la trasformata di Laplace dell'impulso di Dirac è definita per ogni s

Questo se parli di sistemi causali. In generale mi pare che la condizione di stabilità BIBO, espressa nel dominio delle trasformate, richieda che la regione di convergenza dell'integrale di Laplace della risposta impulsiva includa l'asse immaginario. Il motivo è che ciò implica la sommabilità della risposta impulsiva, che è condizione equivalente per la stabilità BIBO. Nel caso di sistemi causali ciò equivale a quanto hai scritto (poli con parte reale negativa).

In effetti anche io sto cogliendo l'occasione per far mente locale su alcune cose :-)

Aloha.

Non è che non mi fidi di te o di questo NG! Ho spedito il messaggio ai due gruppi contemporaneamente ma ISF È moderato e il messaggio è stato autorizzato molto dopo.

Secondo me sì, ci siamo fraintesi, leggi qui sotto ;-)

Intendo una regione del piano che si trova a destra del polo piu' a destra. Non la regione definita da Re{s} > 0

Se h(t) deve essere un segnale destro (non so se questa definizione si usa anche in italiano, intendo che a sinistra da qualche parte va a zero), la ROC di H(s) deve essere una parte di piano a destra del polo piu' destro.

In effetti detta così, non implica che il tempo in cui h(t) va a zero sia per t >= 0.

Secondo le informazioni in mio possesso (ammesso che siano corrette) aggiungendo come condizione che H(s) sia razionale dovremmo essere in grado di implicare che h(t) = 0 per t < 0. La mia domanda è... perche'?

In realtà ho diverse versioni che si contraddicono a riguardo. Ecco perche' chiedo lumi.

Stasera a casa le riassumo tutte e poi vediamo cosa ne salta fuori.

Questo è chiaro. Nella definizione im mio possesso però leggo "Un LTI *causale* con H(s) razionale è stabile se e soltanto se eccetera"

Cerco le fonti e vedo di mettermi un po' le idee in chiaro ;-)

Vi terrò informati.

Boiler

Se è causale, il polo piu' a destra delimita la ROC. Questo vuol dire che l'asse immaginario è nella ROC se e soltanto se il polo piu' a destra (e quindi anche tutti gli altri) ha componenete reale negativa.

Se non è causale, la ROC forma una striscia verticale delimitata da poli, quindi se l'asse immaginario è nella ROC avremo giocoforza un polo con componente reale positiva.

Se è acausale, la ROC è delimitata dal polo piu' a sinistra. E quindi per avere un sistema causale tutti poli avranno parte reale positiva. (di questo ultima frase non sono così sicuro...)

Boiler

Credo intendessi "...per avere un sistema stabile...". Quanto dici mi sembra corretto.

Quanto alla domanda che fai nell'altro post:

, torno a dire che non basta che H(s) sia razionale nè che sia razionale propria. Il risultato h(t) = 0 per tqualcosa.

Aloha.

Boiler ha scritto:

Boiler,

penso che siamo vicini alla soluzione dell'inghippo..Mi son procurato un libro di analisi dei sistemi...Mi manca quello di vera teoria sulle funzioni analitiche, ma vedrò di arrangiarmi.

Ho capito ora cosa intendi rispetto a semipiani "destri" e "sinistri"...Effettivamente la trasformata di laplace "monolatera" NON esiste (non ha proprio senso, ché l'integrale parte da zero), per segnali acausali.

Nel caso di sistemi causali, secondo quello che capisco vale la doppia implicazione, ossia

Re{p_i}< 0 Sistema ass. stabile Re{s}=0 /in ROC

Per sistemi a-causali, mi riservo di ragionarci su ma mi sembra plausibile, le cose stanno termini analoghi. La parte causale, se è stabile, ti dà una "regione parziale" che - supponiamo per fissare le idee

- parte da Re{s}=-1 (e va "a destra"). Ciò significa che è stabile. La parte acausale, funziona al contrario: perché sia stabile deve avere ROC che parte - ancora per fare un esempio - da Re{s}=1 e va verso s decrescente. Ecco allora che la tua striscia, la ROC, deve contenere l'asse immaginario perché il sistema sia stabile. Altrimenti nisba. Convincente? Boh! La notte porterà consiglio ;-)

M

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Yanez ha scritto:

Ma l'integrale, per s > [..]

Se tu avessi ragione sarebbe bellissimo...perché ho appena tratto questa conclusione tutto da solo soletto...La mia autostima subirebbe una decisa impennata ;-D

Cacchio ma tu mi sembri molto più ferrato, ti ricordi molti particolari con precisione...Io nUn me ricordo gnente :-(

Ciao!

M

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E' una domandona, provo a farci su qualche considerazione. Il discorso "c'è una derivata quindi il sistema non è causale" secondo me non regge, perchè in ogni sistema lineare e causale che non sia istantaneo l'ingresso e/o l'uscita vengono derivati nel tempo. Credo che il trucco sia considerare la derivata sinistra, che richiede la conoscenza di un intorno di tempo *antecedente* l' istante corrente, senza bisogno di guardare nel futuro. Però è solo una mia idea.

Per motivi analoghi non capisco perchè dici che un sistema istantaneo non possa essere causale.

Il fatto è che l'impulso di Dirac è una distribuzione, non una funzione, e non ha senso considerarne l'integrale di Laplace. In questo caso stavo pensando alla definizione distribuzionale di trasformata di Laplace (sperando di ricordarmela giusta!), per la quale non mi pare sia necessario parlare di convergenza, a meno che la distribuzione in questione non sia associabile ad una funzione (cosa che comunque non capita con l'impulso di Dirac).

Aloha.

Aggiungo solo una cosa. Se proprio vuoi pensare all'impulso di Dirac come ad una funzione, ricordati che delta(t) = 0 per ogni t diverso da zero, quindi stai integrando una funzione quasi ovunque nulla. A questo punto il comportamento di exp(-st) all'infinito è irrilevante. L'impulso rileva il valore di exp(-st) in t=0, che fa 1 per ogni s.

Aloha.

OK, fin qui ci siamo.

Io cercavo però una relazione che mi permettesse di dire se un sistema è causale o meno ;-)

Ovvero, conoscendo H(s) e la sua ROC, poter dire che il sistema è o non è causale.

O viceversa, sapendo che il sistema è causale o meno, trarre conclusioni sulla ROC.

Hai in mente le classiche domande da esame? È dato il sistema bla bla bla bla, metti le crocette

- LTI

- causale

- BIBO

Ciao Boiler

Boiler ha scritto:

Occhei...mi sembra che ci siamo.

Se vale il discorso che ti ho fatto ieri, allora sei a cavallo.

1) sistemi causali ROC un semipiano destro (alla fine, lo chiamo come avevi detto tu!) 2) sistemi acausali ROC una striscia (si usa la trasf bilatera e poi si "gira" la parte acausale. La ROC diventa - per la sola parte acausale - un semipiano sx)

Dunque, dalla forma della ROC puoi dire quel che ti serve. Dal fatto che la ROC contenga o meno l'asse immaginario deduci poi se il sistema è stabile o meno.

Hop dis helps ;-)

M

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Yanez ha scritto:

Hai ragione Yanez, mi sono spiegato male. Intendevo dire che l'ordine di derivazione dell'ingresso è maggiore di quello dell'uscita. Per questo ho fatto l'esempio del derivatore, che è il sistema più semplice di questo tipo. Tra l'altro, la trasformata è "s", che è una frazione con grado del numeratore maggiore del denominatore, e dunque propria di un sistema NON causale.

Non lo so...cerco dei libri ma non trovo una mazza..così imparo a non farmi una libreria da vero ingeGNIere!

In realtà un sistema istantaneo è "al limite di causalità", nel senso che non fai a tempo a dargli qualcosa in pasto che lui subito hop! ti ha già risposto. Un tale sistema ha banda infinita e chiaramente non è realizzabile...Figuriamoci il derivatore di cui parlavamo prima. Ma la "non realizzabilità" non è la "causalità"...Sono sicuramente concetti parenti, ma...sinonimi? Non credo.

Provo a esemplificare ancora una volta il concetto:

ti ricordi anche tu che:

1 - sistema causale gr(N) Però la risposta all'impulso di un derivatore è un impulso del secondo

Uhm...dire che non ha senso mi sembra eccessivo...tutta la teoria di questi sistemi si basa sugli impulsi...Magari è da prendere con le molle, da capire, ma a me pare che un senso ce l'abbia eccome!

Eh boh, ti ripeto che non ho mai capito le distribuzioni...dovrei procurarmi un libro e studiarle una buona volta.

Ciao, e grazie per la chiacchierata!

M

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Non mi torna, vedi dopo.

Non saprei. Non ho una definizione di sistema realizzabile. Forse si intende un sistema la cui risposta in frequenza va a zero per frequenze elevate. Anche qui è solo un'ipotesi.

Sì, questa mi torna :-)

Beh, usando l'equivalenza 2 che hai scritto dovresti concludere che un derivatore è causale. Sono più propenso a credere che sia sbagliata la 1, per il motivo che ho scritto sopra.

Ok, in ogni caso la trasformata di Laplace dell'impulso di Dirac è definita per ogni s.

Prego, grazie a te.

Aloha.

OK, quindi "se e soltanto se".

Striscia o semipiano dx? Io sarei per la seconda...

Of cours ;-)

Grazie Boiler

Yanez ha scritto:

Mi son procurato due libri di Sistemi, uno italiano ed uno inglese e...il mistero s'infittisce!! Premetto che questa storia dell'ordine di derivazione me la *RICORDO* da quando studiai per l'esame e..come dire..al tempo non ero proprio il massimo della puntigliosità ;-) Di fatto, però, mi è rimasta quest'idea che ti ho esposto più sopra.

Ho controllato 'sti due libri ed ho trovato due versioni differenti..complementari...mavaff!!

Il libro italiano (se serve ti do gli estremi, potrei anche fotocopiare le parti volendo..ma insomma) affronta il problema della causalità direttamente e senza fronzoli in questi termini:

un sistema retto dalla solita eq. differenziale, si dice "fisicamente realizzabile o causale" se gr(N) un derivatore è causale. Sono più propenso a credere che sia sbagliata

Io invece no: sarà una convinzione sbagliata, ma l'argomento che il derivatore *DEVE* conoscere y(t+/delta t) mi sembra fortissimo.

Yessa!

Ma rinnovo i ringraziamenti! Qualcosa mi sembra di averla già imparata...se continuiamo potrebbe addirittura andare meglio!

M

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Boiler ha scritto:

Boiler,

ho davanti un libro che parla anche di queste cose. Non ho studiato l'argomento, ti dico quello che capisco leggendo e interpretando. Per sistemi Acausali, si divide la risposta all'impulso nella parte causale (al limite, zero) e in quella Acausale. Si usa poi la trasformata BILATERA, da -inf a +inf. Ovviamente, da -inf a 0 c'è la parte acausale, no? L'altra è zero. Vale pure il viceversa. La parte acausale viene integrata da -inf a 0 in dt...girando du' segni qua e là, ti ritrovi con una F(-s) = L{f(-t)}, trasformata della parte acausale che, col cambio di variabile, diventa causale (in sostanza hai invertito l'asse del tempo). Allora F(-s) ha il solito "semipiano dx" di convergenza, ma visto che a te serve F(s) ecco che il semipiano diventa sinistro.

Allora la trasformata della parte causale va in un semipiano dx la trasformata della parte A-causale, converge in un semipiano sx

L'intersezione delle due regioni può essere

1 - il vuoto cosmico :-) 2 - una striscia di piano

Se questa striscia comprende l'asse immaginario (e solo in questo caso), vuol dire che

1) la parte causale ha poli a parte reale negativa stabile 2) la parte A-causale ha poli a parte reale positiva stabile

E questo è quanto riesco a fare per oggi :-)

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Michele Ancis ha scritto:

Devo andare a vedere come si dice "vuoto cosmico" in tedesco ;-)

Ti ringrazio, adesso e' chiaro. Ti devo offrire una birra!

Boiler

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