Logische Umformung

Thomas Finke schrieb:

Einfach nach dem Distributivgesetz "ausmultiplizieren".

In einem booleschen Verband lässt sich der Ausdruck noch weiter zu A v B vereinfachen.

Gruß, Thilo

Oh ;-) Danke....wusste nicht, daß ich das UND und ODER beim Ausmultiplizieren gleich behandeln kann.

Am besten, du ersetzt die logischen Operatoren mal durch die (fast) gleichwertigen mathematischen Operatoren. Dann erschließt sich die Sache mit Hilfe der üblichen Schulmathematik gleich viel einfacher.

(-A + B) * A ausmultiplizieren->

(-A * A) + (B * A) zweimal das Kommutativgesetz anwenden->

(A * -A) + (A * B)

Jetzt ersetzt du die mathematischen Operatoren wieder durch die logischen

(A v /A) ^ (A v B)

et voíla

Wir lernen: Boole'sche Algebra ist nicht mehr als die Anwendung der allgemeingültigen mathematischen Gesetze auf Zahlen mit auf 0 und 1 eingeschränkten Wertebereich.

Allerdings auch nicht weniger, das muß man bei sowas immer im Hinterkopf behalten. Als Beispiel dafür kann gleich der Ausdruck (A v /A) bzw. (A *

-A) aus obiger Rechnung dienen. Mit den allgemeinen mathematischen Gesetzen würde man (A * -A) zu A² vereinfachen. In der Boole'schen Algebra ist eine andere Vereinfachung möglich, nämlich (A v /A)=1. Daß diese Vereinfachung zulässig ist, läßt sich durch eine Wertetabelle aller möglichen Operanden sehr einfach beweisen:

Somit bleibt vom obigen Umfomungsergebnis noch über:

und das läßt sich wiederum noch zu

A v B

vereinfachen.

Das ist doch dann

UND = Multiplikation ODER = Addition

Meine Aufgabe war ja aber ( /A ^ B ) v A also somit ( -A * B ) + A oder lieg ich da falsch? Dann geht die Sache mit den normalen Rechenregeln ja nimmer so einfach.....wobei man ja bei boolescher Algebra auch dieses Ausmultiplizieren kann....?!?!

Ja.

Ja.

Nein. Ich habe da ganz elegant v und ^ durcheinandergebracht. Peinlich, peinlich. Aber immerhin konsequent bis zum Ende des Postings durchgehalten. ;o)

Das kann man wohl sagen. Bist du sicher, daß das Ergebnis stimmt?

Außer dem Distributivgesetz braucht man noch die Relation:

(A^B) = /(/A v /B) bzw. (AvB) = /(/A^/B)

Dann dreht man erst das "oder" um, damit man das Distributivgesetz nehmen kann:

(/A ^ B) v A = /( /(/A ^ B) ^ /A ) die Negation der linken Hälfte stört noch == /( /(/A ^ //B) ^ /A) = /( (A v /B) ^ /A) jetzt "ausmultiplizieren" = /( (A ^ /A) v (/B ^ /A) ) das "oder" in der Mitte weg = /(A ^ /A) ^ /(/B ^ /A) die äußeren Negationen weg = (/A v //A) ^ (//B v //A) == (/A v A) ^ (B v A) qed.

geht aber noch weiter = 1 ^ (B v A) = (B v A)

Gruß

Tassilo

Ja, das wurde in der Vorlesung so besprochen.

Danke für die Lösung...

vielleicht könnt Ihr Euch noch folgendes Problem anschauen:

/R ^ S ^ T v /R ^ S ^ U v R ^ /S ^ /T v R ^ /S ^ /U

Wie kann ich das weiter vereinfachen? Mir fehlt irgendwie die Methode wie ich solche Aufgaben am besten angehe....bin für alle Tipps dankbar.

Thomas

Heiko Nocon schrieb:

Ja, alle booleschen Verbände, also speziell auch der zweielementige boolesche Verband, sind distributiv.

Gruß, Thilo

Tassilo Heeg schrieb:

Sorry, aber das ist ziemlicher Quatsch. Was du hier zeigst ist zwar prinzipiell korrekt, aber unnötig kompliziert. Die von dir durchgeführte zweifache Anwendung des De Morgan'schen Gesetz ist aber unnötig, da in einem booleschen Verband sowohl das Infimum (^, "UND"), als auch das Supremum (v, "ODER") distributiv sind. Eine Einschränkung auf nur eine Operation wie bei den reellen Zahlen gibt es hier nicht.

Gruß, Thilo

Thomas Finke schrieb:

Die wirst du selbst herausfinden müssen, die Hausübung mache ich dir nicht...

Ausklammern. Mit einer Variablen anfangen, dann die nächste, usw.

Gruß, Thilo

Dazu müßte aber eine Variable doch wirklich in allen 4 Teilen der Gleichung gleich sein...aber jede Variable ist ja 2 mal "normal" und 2 mal "negiert" ?

Das obere laesst sich reduzieren auf "A v B". Das untere ist dann einfach wieder um einen nutzlosen Term aufgeblasen worden.

Hallo Thomas,

Thomas Finke schrieb:

der Lösungsweg und der Hinweis auf Distributivität kam schon, vielleicht nochmal eine verbale Erklärung dieses einfachen Beispiels, der sogenannte scharfe Blick - häufig angewendet selten verstanden. :)

Denn wenn A gilt, ist die Gesamtheit des Ausdrucks A. Gilt A nicht gilt B. (Sieht man mit dem scharfen Blick sehr schön an der ODER verknüpfung in denen die gleiche Variable einfach und negiert vorkommt.) Daraus folgt logisch, daß die Funktion A v B abbildet.

Um den scharfen Blick zu üben kannst mal ganz scharf auf Folgendes gucken: (/A ^ B) v (A ^ 1), (/A ^ B) v (A ^ 0), (/A ^ B) v (A ^ C)

Und falls jemand ^ & v immer wieder durcheinander haut:

U^D die Bewegung beim Schreiben ist der eines n ähnlich Uhrzeigersinn) vDER die Bewegung beim Schreiben geht in die andere Richtung.

Und auch hier gilt wieder: Man braucht sich nur eins zu merken. ;)

Gruß, Immo.

Du willst also sagen:

(A ^ B) v C = (A v C) ^ (B v C)

Womit Du recht hast. Oh je.

Gruß Tassilo