Logische Umformung

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Hallo,

ich habe hier eine logische Verknüpfung
der / soll "negiert" bedeuten

( /A ^ B ) v A

und aus dieser Verknüpfung wurde die

( A v /A ) ^ ( A v B )

Kann mir jemand von Euch sagen mit welchen Schritten ich von der oberen zu
der unteren Verknüpfung komme?

Danke,

Thomas



Re: Logische Umformung
Thomas Finke schrieb:

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Einfach nach dem Distributivgesetz "ausmultiplizieren".

In einem booleschen Verband lässt sich der Ausdruck noch weiter zu A v B
vereinfachen.

Gruß,
Thilo

Re: Logische Umformung
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Oh ;-) Danke....wusste nicht, daß ich das UND und ODER beim
Ausmultiplizieren gleich behandeln kann.



Re: Logische Umformung

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Am besten, du ersetzt die logischen Operatoren mal durch die (fast)
gleichwertigen mathematischen Operatoren. Dann erschließt sich die Sache
mit Hilfe der üblichen Schulmathematik gleich viel einfacher.

(-A + B) * A  ausmultiplizieren->
(-A * A) + (B * A) zweimal das Kommutativgesetz anwenden->
(A * -A) + (A * B)

Jetzt ersetzt du die mathematischen Operatoren wieder durch die
logischen

(A v /A) ^ (A v B)

et voíla

Wir lernen: Boole'sche Algebra ist nicht mehr als die Anwendung der
allgemeingültigen mathematischen Gesetze auf Zahlen mit auf 0 und 1
eingeschränkten Wertebereich.

Allerdings auch nicht weniger, das muß man bei sowas immer im Hinterkopf
behalten. Als Beispiel dafür kann gleich der Ausdruck (A v /A) bzw. (A *
-A) aus obiger Rechnung dienen. Mit den allgemeinen mathematischen
Gesetzen würde man (A * -A) zu A² vereinfachen. In der Boole'schen
Algebra ist eine andere Vereinfachung möglich, nämlich (A v /A)=1. Daß
diese Vereinfachung zulässig ist, läßt sich durch eine Wertetabelle
aller möglichen Operanden sehr einfach beweisen:

0 v /0 = 0 v 1 = 1
1 v /1 = 1 v 0 = 1

Somit bleibt vom obigen Umfomungsergebnis noch über:

1 ^ (A v B)

und das läßt sich wiederum noch zu

A v B

vereinfachen.
    

Re: Logische Umformung
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Das ist doch dann

UND = Multiplikation
ODER = Addition



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Meine Aufgabe war ja aber ( /A ^ B ) v A also somit ( -A * B ) + A oder lieg
ich da falsch?
Dann geht die Sache mit den normalen Rechenregeln ja nimmer so
einfach.....wobei man ja bei boolescher Algebra auch dieses
Ausmultiplizieren kann....?!?!



Re: Logische Umformung

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Ja.


Ja.


Nein. Ich habe da ganz elegant v und ^ durcheinandergebracht. Peinlich,
peinlich. Aber immerhin konsequent bis zum Ende des Postings
durchgehalten. ;o)

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Das kann man wohl sagen. Bist du sicher, daß das Ergebnis stimmt?
  

Re: Logische Umformung
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Ja, das wurde in der Vorlesung so besprochen.



Re: Logische Umformung
Heiko Nocon schrieb:

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Ja, alle booleschen Verbände, also speziell auch der zweielementige
boolesche Verband, sind distributiv.

Gruß,
Thilo

Re: Logische Umformung
Hallo!

On Fri, 2 Jan 2004 15:58:22 +0100, "Thomas Finke"

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Außer dem Distributivgesetz braucht man noch die Relation:

(A^B) = /(/A v /B)  bzw. (AvB) = /(/A^/B)

Dann dreht man erst das "oder" um, damit man das Distributivgesetz
nehmen kann:

       (/A ^ B) v A
 = /( /(/A ^ B) ^ /A )  die Negation der linken Hälfte stört noch
== /( /(/A ^ //B) ^ /A)
 = /( (A v /B)    ^ /A) jetzt "ausmultiplizieren"
 = /( (A ^ /A) v (/B ^ /A) ) das "oder" in der Mitte weg
 =   /(A ^ /A) ^ /(/B ^ /A) die äußeren Negationen weg
 =    (/A v //A) ^ (//B v //A)
==    (/A v A)   ^ (B v A)  qed.

geht aber noch weiter
 =        1      ^ (B v A)
 =    (B v A)

Gruß

Tassilo

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Noch ein Problem
Danke für die Lösung...


vielleicht könnt Ihr Euch noch folgendes Problem anschauen:

/R ^ S ^ T  v  /R ^ S ^ U  v  R ^ /S ^ /T  v  R ^ /S ^ /U

Wie kann ich das weiter vereinfachen?
Mir fehlt irgendwie die Methode wie ich solche Aufgaben am besten
angehe....bin für alle Tipps dankbar.

Thomas



Re: Noch ein Problem
Thomas Finke schrieb:

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Die wirst du selbst herausfinden müssen, die Hausübung mache ich dir
nicht...

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Ausklammern. Mit einer Variablen anfangen, dann die nächste, usw.

Gruß,
Thilo

Re: Noch ein Problem
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Dazu müßte aber eine Variable doch wirklich in allen 4 Teilen der Gleichung
gleich sein...aber jede Variable ist ja 2 mal "normal" und 2 mal "negiert" ?



Re: Logische Umformung
Tassilo Heeg schrieb:

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Sorry, aber das ist ziemlicher Quatsch. Was du hier zeigst ist zwar
prinzipiell korrekt, aber unnötig kompliziert. Die von dir durchgeführte
zweifache Anwendung des De Morgan'schen Gesetz ist aber unnötig, da in
einem booleschen Verband sowohl das Infimum (^, "UND"), als auch das
Supremum (v, "ODER") distributiv sind. Eine Einschränkung auf nur eine
Operation wie bei den reellen Zahlen gibt es hier nicht.

Gruß,
Thilo

Re: Logische Umformung
Hallo!

On Sat, 3 Jan 2004 01:04:55 +0100, Thilo-Alexander Ginkel
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Du willst also sagen:

(A ^ B) v C = (A v C) ^ (B v C)

Womit Du recht hast. Oh je.

Gruß
Tassilo
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Re: Logische Umformung
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Das obere laesst sich reduzieren auf "A v B".  Das untere ist dann
einfach wieder um einen nutzlosen Term aufgeblasen worden.

Re: Logische Umformung
Hallo Thomas,

Thomas Finke schrieb:
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der Lösungsweg und der Hinweis auf Distributivität kam schon, vielleicht
nochmal eine verbale Erklärung dieses einfachen Beispiels, der
sogenannte scharfe Blick - häufig angewendet selten verstanden. :)

Denn wenn A gilt, ist die Gesamtheit des Ausdrucks A. Gilt A nicht gilt
B. (Sieht man mit dem scharfen Blick sehr schön an der ODER verknüpfung
in denen die gleiche Variable einfach und negiert vorkommt.) Daraus
folgt logisch, daß die Funktion A v B abbildet.

Um den scharfen Blick zu üben kannst mal ganz scharf auf Folgendes
gucken: (/A ^ B) v (A ^ 1), (/A ^ B) v (A ^ 0), (/A ^ B) v (A ^ C)

Und falls jemand ^ & v immer wieder durcheinander haut:

U^D  die Bewegung beim Schreiben ist der eines n ähnlich Uhrzeigersinn)
vDER die Bewegung beim Schreiben geht in die andere Richtung.

Und auch hier gilt wieder: Man braucht sich nur eins zu merken. ;)

Gruß, Immo.

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