Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber
Wenig gesagt was da technisch wie und warum umgesetzt werden soll.
a) "schnelle Temperatursensoren" Temperatursensoren haben thermische Zeitkonstante die meist als 1pol angenommen wird. Kann man messen indem von kaltem in warmes Wasser taucht und damit die Sprungfunktion aufnimmt. Daraus kann man dann "schnellen Sensor" simulierem indem man die umgekehrte
Kosten der Genauigkeit.
b) predictor displays Das www gibt nicht mehr viel dazu her, es war aber in den
60er Jahren beliebtes Thema und funktioniert technisch auch. Kelley hat als Cover auf seinem Buch zu dem Thema von 1968 einen landenden Lifting Body:
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Leicht opportunistisch, der Crash war 1967:
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Man hat dazu im Flugzeug eine simulierte Nachbildung laufen die dem Piloten im Display anzeigt was das Flugzeug in naher Zukunft tun wird wenn er diesen
Modelle, da man ja nur auf wenige Sekunden Vorhersage machen will.
Mich nervt ein Kumpel mit Titrationen, bei denen einmal die chemische Reaktion eine Zeit dauert, und die Sonden nochmal sehr langsam reagieren. Dabei ist es mit der einmaligen Bestimmung der Asymptote
werden.
Doch diese Details interessieren mich (noch) nicht, mir geht es erst mal einzig um eine schnelle Vorhersage des "eingeschwungenen" Zustands.
Polynomen, deren Grenzwerte gegen Unendlich gehen, und der Exponentialfunktion, die gegen einen endlichen Wert konvergiert -
Etwas in dieser Art ist mir im Studium schon untergekommen, bei Zustandsreglern und Beobachtern. Die setzen jedoch eine genaue Kenntnis des Modells voraus, zumindest finde ich darin keinen Ansatz, um die
Exponentialfunktionen als Ergebnis ist das Modell dann ja durch ein Differentialgleichungssystem definierbar. Die Parameter des DGL's kann man
ist - und dann kommt Humbug raus. Ich hatte das mal mit mechanischen Systemen versucht, und dann negative Massen rausbekommen. Du brauchst dann wohl doch eher einen genialen Mathematiker, der da ein paar Kniffe kennt, wie man das
Ich habe vor ca. 20 Jahren soetwas programmiert, allerdings war bekannt in welchem bereich tau liegt. Bei bekanntem tau ist das ein ueberbestimmtes lineares Gleichungssystem und man kann direkt a k und die Summe der Quadrate der Abweichungen berechnen. Ich habe den moeglichen Bereich fuer Tau in 100 Schritte zerlegt, fuer alle den leaest squares-fit berechnet und den besten davon genommen, das war am simpelsten.
y(t)=a+f(t) n = (y0-a)/(y1-a) = ... = (y(t)-a)/(y(t+dt)-a)
ergibt sich daraus die Formel
finden, aber dazu gibt es ja schon reichlich Literatur. Eine Simulation
jedenfalls Werte auf mindestens 5 Stellen genau. Bei einem Startwert von
0.01 neben der Asymptote wackelt die 5. Stelle. Liegen die gemessenen Werte zu nahe beieinander, kann man zur Vermeidung einer Division durch
0 auf die ganze Rechnung verzichten, und sich z.B. direkt mit deren
Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null. Also sowas wie:
Bei vorgegebenem tau geht das, und man bekommt a und k heraus und die Summe der Fehlerquadrate. Dann braucht man nur noch das tau zu finden wofuer das minimal wird, z.B. indem alle moeglichen tau durchprobiert werden.
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