Resistenza conduttore a forma di fetta

Allora immaginiamo un conduttore a forma di fetta (tipo una fetta di torta) e i terminali sono il vertice e la parte arrotondata della fetta. Ho calcolato la resistenza in caso di resistività costante e penso sia giusto. Invece come si procede quando la resistività del materiale dipende sia dal raggio che dall'angolo della fetta? Ha importanza l'ordine nell'integrale doppio che ne risulta? Ciao a tutti e grazie

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Allora immaginiamo un conduttore a forma di fetta (tipo una fetta di torta) e i terminali sono il vertice e la parte arrotondata della fetta. Ho calcolato la resistenza in caso di resistività costante e penso sia giusto. Invece come si procede quando la resistività del materiale dipende sia dal raggio che dall'angolo della fetta? Ha importanza l'ordine nell'integrale doppio che ne risulta? Ciao a tutti e grazie

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Allora immaginiamo un conduttore a forma di fetta (tipo una fetta di torta) e i terminali sono il vertice e la parte arrotondata della fetta. Ho calcolato la resistenza in caso di resistività costante e penso sia giusto. Invece come si procede quando la resistività del materiale dipende sia dal raggio che dall'angolo della fetta? Ha importanza l'ordine nell'integrale doppio che ne risulta? Ciao a tutti e grazie

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NICKEL ha scritto:

Minchia che PIPPA, questa le batte tutte, da incorniciare...

NICKEL ha scritto:

La resistenza tra il vertice della fetta e la superficie della parte arrotondata e' infinita, ti torna?

Ciao

Ciao Giorgio grazie per la tua risposta. Allora a me viene diverso, tu dici che viene infinita perchè il vertice è puntiforme? Il calcolo si fa pensando tante resistenze messe in serie, giusto? Se il vertice anzichè essere puntiforme fosse anche lui arrotondato (in questo caso verso l'interno) il calcolo si fa allo stesso modo giusto? Ciao Giorgio grazie ancora

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NICKEL ha scritto:

Si', e' infinita perche' il vertice ha area nulla.

Non ho capito bene. ;-) Io farei cosi'. Consideriamo non la sola fetta ma tutta la torta, e dimostriamo che la resistenza tra l'asse centrale e la superficie curva della torta e' infinita, quindi a maggior ragione sara' infinita la resistenza nel caso della fetta. Sia J la densita' di corrente nella fetta, per simmetria J e' funzione solo della distanza r dall'asse, J = J(r), dato che l'intensita' di corrente I che attraversa una superficie cilindrica di area S(r) distante r dall'asse e' uniforme e dato che si ha I = S(r) * J(r) e dato che S(r) e' direttamente proporzionale a r allora si ha che J(r) e' direttamente proporzionale a 1/r, se ro e' la resistivita' del materiale allora il campo E(r) in ogni punto interno alla torta vale E(r) = J(r) / ro (legge di Ohm in forma microscopica), quindi E(r) e' direttamente proporzionale a 1/r, l'integrale di E(r) tra l'asse della torta avente r = 0 m e la superficie curva avente r = r_1 (raggio della fetta), cioe' la corrispondente differenza di potenziale, e' quindi infinito, ma se la differenza di potenziale e' infinita e la corrente e' finita allora la resistenza e' infinita.

Intendo che il vertice e' una porzione di superficie cilindrica distante r_0 > 0 m dall'asse, allora la resistenza e' finita come si vede integrando la funzione 1/r tra r_0 e r_1 (raggio della fetta).

Nota: problemi simili a questo in passato sono stati discussi su it.scienza.fisica, che in effetti sarebbe stato un gruppo piu' appropriato.

Ciao

Sì Giorgio ho letto la tua risposta però ho un piccolo dubbio: tu dici resistenza infinita perchè il vertice ha area nulla, però ha anche lunghezza nulla. Però siccome l'area diminuisce più in fretta della lunghezza risulta al limite infinito, corretto? Poi dici anche che nella fetta la densità di corrente dipende solo dal raggio e non dall'angolo, giusto? Da cosa si vede? E nel caso di resistività variabile basta integrare due volte in ogni caso? Lo so che sono argomenti di fisica ma su it.scienza.fisica aspetto settimane e non compaiono i post e invece su free.it.scienza.fisica non mi piace perchè è diventato incasinato come it.scienza.matematica. Poi molti che scrivono là sono anche qua. Ciao Giorgio grazie

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Giorgio Bibbiani ha scritto:

MADO' CHE SUPERPIPPONE! Roba accademica...

Viene infinita perche' l'integrale diverge :) nel vertice. Meglio fare il conto per un settore di corona circolare, la simmetria in questo caso aiuta.

Se la distribuzione di resistivita` cambia solo con il raggio, non dovrebbe essere troppo difficile da calcolare, al piu` capita che non si riesce a integrare analiticamente.

Il problema e` analogo alla trasmissione del calore in un cilindro, analizzato qui

La differenza e` che nell'equazione 16.25 non hai k costante ma k(r) e lo devi tenere dentro la parentesi.

Quando hai il risultato, lo scali per tenere conto che hai solo una parte della corona circolare.

Se invece la conducibilita` varia anche secondo l'angolo, c'e` un integrale in piu` :(. Il risultato dovrebbe essere lo stesso sia se integri prima lungo R, sia lungo phi.

NICKEL ha scritto:

scusami, ma non è meglio ,prima di procedere con queste domande e con questi calcoli, che dai un occhiata su come si usano i ng!!!! in rete ci sono delle ottime guide.

ps-5 volte la stessa domada....................

NICKEL ha scritto:

Sugli altri argomenti ti ha gia' risposto Franco. Nota: correggo un refuso del mio messaggio precedente, ovviamente doveva essere E(r) = J(r) * ro e non E(r) = J(r) / ro.

In realta' e' piu' semplice considerare il caso della "torta" (cilindro pieno), dato che se la resistenza e' infinita in questo caso allora lo e' a maggior ragione per la fetta, per la torta la densita' di corrente puo' solo dipendere dal raggio r a causa della simmetria cilindrica del sistema. Volendo piu' faticosamente dimostrare nel caso della fetta che J e' diretta radialmente e dipende solo da r, si possono usare le equazioni div E = div(J(r) * ro) = 0 poiche' div J = 0 in condizioni stazionarie e rot E = 0 sempre ancora perche' si e' in condizioni stazionarie e @B/@t = 0, quindi si ha rot E = 0 e nabla^2 E = 0 cioe' E e' formalmente un campo elettrostatico in una regione di spazio vuota, si puo' quindi risolvere il problema generale dell'elettrostatica, _imponendo_ le condizioni che sulle due superfici curve al contorno il campo E sia diretto perpendicolarmente alle superfici si vede che una soluzione (che sara' anche l'unica) e' quella per cui il campo E e' diretto ovunque radialmente e ha valore che dipende solo da r. Comunque, come dicevo, non vale la pena di fare tutto questo calcolo solo per dimostrare che la resistenza della fetta e' infinita.

Ciao

Giorgio Bibbiani ha scritto:

Ancora correggo, ovviamente era nabla^2 phi = 0, con phi potenziale tale che E = - grad phi.

Ciao

Pero' qua stai assumendo implicitamente che J abbia componente unicamente radiale, ma per una generica rho(r,phi) cio' puo' non essere vero: occorre chiedere che il rapporto rho(r,phi_1) / rho(r,phi_2) non dipenda da r, ovvero che la rho possa essere scritta in forma fattorizzata f(r)*g(phi) come prodotto di due funzioni dipendenti rispettivamente esclusivamente da r e da phi. In caso contrario, la soluzione con J radiale non sarebbe compatibile con rot E = 0 e div J = 0 .. Se la rho puo' essere qualunque, non credo che il problema si possa risolvere cosi' facilmente :(

-- M.

Hai ragione, stavo pensando alla soluzione a prodotto di funzioni indipendenti, che e` quella che si spera di trovare e che si sa risolvere.

Grazie, ciao.