Regelungstechnik

Hallo Student.

Bist du denn der einzige dort, der RT hört, kann dir keiner deiner Kommilitonen weiterhelfen und ist weder der Prof noch einer seiner Mitarbeiter bereit, dir mal ne Frage zu beantworten (und Bücher gibt es auch keine)?

Na gut:

In der RT ist es von interesse, ob ein System stabil ist oder nicht. Die (bibo-) Stabilität lässt sich nun anhand der Übertragungsfunktion des Systems bestimmen, indem man überprüft, ob alle Polstellen der Übertragungsfunktion einen negativen Realteil besitzen. D.h., man müsste die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen. - Wenn es nicht gerade vom Grad zwei ist, wird die Sache per Hand etwas aufwändiger,.. Also hat man nach Möglichkeiten gesucht, auf "einfache" Art und Weise entscheiden zu können, ob ein Polynom nur Nullstellen mit negativem Realteil besitzt. Hurwitz~ und Routh~ sind nun zwei dieser Möglichkeiten.

Hurwitz-Polynom: Ein Polynom Qn(s)=an*s^n + ... + a2*s^2 + a1*s + a0 mit reellen Koeffizienten a0,..,an wird als Hurwitz-Polynom bezeichnet, wenn sämtliche Nullstellen in der linken offenen s-Halbebene liegen (also negativen Realteil besitzen) - was genau dann der Fall ist, wenn alle Koeffizienten a0,..,an und die n führenden Hurwitz-Determinanten D1,..Dn positiv sind.

Bleibt also noch zu klären, was diese Hurwitz-Determinanten sind: Im folgenden werde ich die Elemente einer Zeile einer Matrix durch ein Leerzeichen trennen, die Spalen durch ein Komma:

| a b | | c d | also als [a b, c d] darstellen.

D1 = a1

D2 = det [a1 a3, a0 a2]

D3 = det [a1 a3 a5, a0 a2 a4, 0 a1 a3]

...

Man bildet also immer die Teildeterminanten (oder wie man das nun auch bezeichnen mag) folgender Matrix:

| a1 a3 a5 a7 ... | | a0 a2 a4 a6 ... | | 0 a1 a3 a5 ... | | 0 0 a1 a3 ... | | .. .. .. .. ... |

Beispiel: Q4(s) = s^4 + 8*s^3 + 18 s^2 + 16s +5

Die Matrix:

| 16 8 0 0 | | 5 18 1 0 | | 0 5 18 1 |

1.) alle Koeffizienten sind positiv 2.) D1 = 16, D2 = 16*18-5*8 = 248, D3 = .. = 1728, D4 = ... = 1728 => alle Di positiv ~> Hurwitz-Polynom ~> Übertragungsfunktion mit Q4(s) als Nenner ist bibo-stabil. (Sofern keine Kürzungen zwischen Nenner und Zähler aufgetreten sind auch asymtotisch stabil)

(Nicht auszuschließen, dass ich mich irgendwo vertippt habe)

Andreas. (und nein, ich wohne nicht in deiner Nähe)