es ist mir ein wenig peinlich die Frage zu stellen weil die Antwort wahrscheinlich extrem simpel ist:
Ich habe einen HF Generator der ein Signal in eine Leitung einspeist. In jedem HF Buch steht man kann dann ganz einfach die Spannung zu Zeitpunkt t und an Punkt z berechnen durch:
w = Omega = 2*PI*f z= Weg auf Leitung mit Einspeisepunkt = 0 c= Geschwindigkeit der Welle auf der Leitung
U*cos(w(t-z/c))
soweit so gut.
Wenn ich mir nun die Vorschreift zur Leitungsanpassung anschaue steht da:
b2=a1*e^(-jBl)
b2: ausgehende Welle an Tor 2 a1: eingehende Welle an Tor 1
B= Beta = Omega/c = 2*PI*Wellenlänge
das bedeutet also:
b2=a1*cos(2*PI/Wellenlänge*l)
was wiederum bedeutet, dass ich Zum Beispiel an der Position (1/4)*Wellenlänge also cos(1/2PI) immer eine 0-Spannung habe. Laut der ersten Funktion dürfte das doch nicht sein? ein freund meinte, dass man die beiden Imaginärteile mit einbeziehen müsste, aber dabei kommt auch nichts sinnvolles heraus.....
Ich denke die korrekte Gleichung ist schon: U*cos(w(t-z/c))*cos(2*PI/Wellenlänge*l)
wobei dann die Frage bleibt warum die erste Funktion überhaupt ein z enthalten darf, da sie ja die Übertragungsfunktion gar nicht berücksichtigt.
es wäre toll wenn mir jemand sagen kann wo mein Denkfehler liegt....
ich versuch das mal anschaulich und ohne Formeln zu erklären:
stell dir mal vor, die Leitung wäre unendlich lang und hätte keine Dämpfung. Dann kannst du am Eingang der Leitung dein Signal einspeisen und dieses Signal bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit * Verkürzungsfaktor auf dem Kabel entlang.
Am Eingang der Leitung ist dann das Verhältnis von Spannung zu Strom identisch mit dem Wellenwiderstand. Diesen kannst du zunächst mal als reel annehmen.
Wenn die Leitung unendlich lang ist, wirst du ausgehend vom Einspeisepunkt an jedem Punkt der Leitung dieselbe Spannung U(t-T0) messen.
Wenn die Leitung nicht unendlich lang ist, was in der Regel der Fall sein dürfte, kannst du dasselbe Verhalten erreichen, indem du an das Ende des Kabels einen Abschlusswiderstand schaltest, der den selben Wert hat, wie der Wellenwiderstand des Kabels. Der Abschlusswiderstand verhält sich damit genauso, wie ein unendlich langes Kabel...
Wenn ich nun ein langes Kabel betrachte, dass nicht mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen wird, so kann vereinfacht gesagt, die Energie, die vorne eingespeist wird, hinten nicht vollständig abfließen. Ein Teil der hineinlaufenden Welle wird deshalb reflektiert und überlagert damit die hineinlaufende Welle. Durch die Überlagerung ergeben sich lokale Minima und Maxima. Am Eingang der Leitung entspricht das Verhältnis von Spannung zu Strom dann auch nicht mehr dem Wellenwiderstand. Diese dann in der Regel komplexe Eingangsimpedanz ist abhängig von der Leitungslänge (bezogen auf die Wellenlänge), der tatsächlich vorhandenen Abschlussimpedanz und der Leitungsdämpfung.
Insofweit beschreibt die erste Formel in deinem Posting den Fall einer unendlich langen Leitung, oder eben den einer mit dem Wellenwiderstand reflexionsfrei abgeschlossenen Leitung.
bei einer Anpassung nehme ich aber doch auch die 2. Gleichung her:
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die Formel 4.18 entspricht meiner 2. Formel (z wird in die andere Richtung gesehen, deswegen ist es bei mir negativ)
wenn ich also die Spannung an Punkt X errechnen will, reicht die erste "einfache" Wellengleichung aus oder muss ich sie doch noch mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren?
Du möchtest die Eulersche Formel genau betrachten, die Multiplikation mit exp(i phi) ist eine *komplexe* Multiplikation und bedeutet eine *Phasendrehung* des Signals. Diese komplexe Multiplikation darf man nicht einfach durch *eine* reale ersetzen.
Nichts anderes als eine Phasendrehung macht so eine Leitung bei einer bestimmten Frequenz, durch die Verzögerung wird die Phase z.B. des Stroms der vorlaufenden zu der der rücklaufenden Welle verschoben.
exp(i phi) = i sin phi + cos phi
ist eine *komplexe* Zahl und man darf nicht einfach alles weglassen, was ein "i" im Term hat. Denn immerhin ist i^2 = (-1) und somit etwas sehr Reales.
Das sieht man z.B., wenn man mehrere Phasendrehungen hintereinander ausführt, bei 2 x 90 Grad wäre es nach Deiner Rechnung die Amplitude Null (weil Du einfach den Imaginäranteil wegläßt), in Wirklichkeit ergibt sich eine 180 Grad Phasendrehung:
Falsch nach Richard: exp(i pi/2) = i + 0 = 0, ergo exp(i pi/2) exp(i pi/2) = 0 aber exp(i pi) = 0i -1 = -1
Richtig nach Euler: exp(i pi/2) = i, exp(i pi/2) exp(i pi/2) = i^2 = -1 oder auch exp(i pi/2)^2 = exp(i 2pi/2) = exp(i pi) = -1
Der komplexe Zahlenraum ersetzt schlicht eine 2 x 2
*Dreh*matrix, mit der man sonst im realen Zahlenraum rechnen müßte.
Diese Matrix setzt dann die Wellenform aus einer um 0 Grad verschobenen und einer um 90 Grad verschobenen Welle zusammen (denn sonst müßte man immer im Argument des sin/cos rumschieben), aus diesen beiden Wellen läßt sich durch lineare Kombination (Überlagerung) eine Welle mit jeder beliebigen Phasenverschiebung konstruieren. Male es einfach auf ...
Und weil es einfacher zu schreiben ist, nimmt man statt der Matrizen die komplexen Zahlen her.
Physikalisch ist es so, dass die Leitung verzögert, aber bei einer idealen Leitung keine Leistung verloren gehen kann (Energieerhaltung). Da die Signalgeschwindigkeit begrenzt ist, "weiß" die Welle noch nichts von ihrem Glück am Ende und wird daher zeitversetzt (retardiert) reflektiert. Wie sie eflextiert wird, hängt von der Art des Leitungsabschlusses ab, *am* Leitungsabschluß ist z.B. beim offenen Ende per Definition der Strom Null.
Daraus resultiert bei einer offenen Leitung eine je nach Länge (z.B. bei Lambda/4: Kurzschluß!) sichtbare Impedanz, die ja nichts anderes ist als Spannung / Strom. Die Spannungen aus vor- und rücklaufender Welle addieren sich, die gegenläufigen Ströme werden subtrahiert, und voila: Es steht die Formel für die Bilineartransformation zwischen reflektiertem Signal (s11) und sichtbarer Impedanz da.
Bei der Laufzeit bitte beachten: Für die Impedanz geht es hin- und zurück, deshalb transformiert eine Lambda/4 lange Leitung einen Kurzschluß in ein offenes Ende und umgekehrt (180 Grad Drehung des Smith Charts) und eignet sich daher ganz hervorragend als Bandsperre oder Resonator.
Was fuer eine Leitung? Verlustfrei? Wie lang? Wenn endlich: Womit abgeschlossen?
Aha. Die Leitung ist also offensichtlich verlustfrei und auszerdem entweder unendlich lang oder mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen.
^ Das muss wohl ein Bruchstrich sein.
Aha. Nach langem Raetselraten bin ich zu der Auffassung gekommen, das es sich um eine verlustfreie, angepasste Leitung der Laenge l handelt. Die Formel spiegelt die Phasenverschiebung wider, die die Leitung durch die Laufzeit verursacht. (Hoffe ich wengistens.)
Meinst Du nicht, es koennte hilfreich sein, sie diese Bedingungen a) selber klarzumachen und b) mit hinzuschreiben?
Du kannst (im Allgemeinen) nicht einfach den Imaginaerteil weglassen. Der ganze Krempel in der Klammer hinter a1 gibt (im Komplexen) einfach den Winkel an, um den die auslaufende Welle gegenueber der einlaufenden phasenverschoben ist.
Ist daher falsch.
Ist ja auch nicht.
Welche BEIDEN Imaginaerteile? - Im Prinzip hat er aber Recht.
Noe, ist Quatsch. Die beiden Formeln, die Du oben angegeben hast, sind fuer sich genommen richtig (wenigstens ist mir kein Fehler aufgefallen). Sie geben weiter nichts wieder, als dass der Momentanwert einer fortschreitenden Welle sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhaengt. Der Unterschied ist nur, dass es im einen Fall mit reellen Groeszen und im anderen mit komplexen aufgeschrieben wurde.
Das kleine z ist, wie Du oben richtig dazugeschrieben hast, der Ort - und keine Uebertragungsfunktion. z ist in der ersten Formel das, was in der zweiten l ist.
Deine Denkfehler beruhen einfach darauf, dass Du Dir weder die Bedeutung der Formelzeichen klargemacht hast noch anschaulich vorstellen kannst, was die Formeln eigentlich aussagen.
Hoffe, selbst keinen Fehler gemacht zu haben; trotzdem keine Gewaehr fuer irgend eine Richtigkeit.
Wenn die Leitung mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen ist, wird nichts reflektiert. Es gibt keine stehenden Wellen auf dem Kabel und die Signalamplitude ist an jedem Punt der Leitung gleich. Die Phasenlage, d.h. die Phasenverschiebung zwischen z.B. der Spannung am Eingang und der Spannung an einem beliebigen Punkt auf der Leitung ergibt sich aus der Laufzeit. Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist im Falle der idealen Anpassung überall Null.
ich möchte mich bei allen herzlich bedanken die sich die Zeit genommen haben sich mit meinem Problem auseinander zu setzen.
Heute hatte ich ein echtes "AHA" Erlebnis in Bezug auf Wellenbeschreibungen und was hinter ihnen steckt dafür möchte ich jedem einzelnen herzlich danken.
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