On sait qu'un conducteur de section S et longueur L a entre ses extr=E9mit=E9s une r=E9sistance R =3D rho.L/S
Maintenant pour un tronc de cone de hauteur L pr=E9sentant =E0 une extr=E9mit=E9 une surface S1 et =E0 l'autre extr=E9mit=E9 une surface S2 > S1, comment calcule-t'on sa r=E9sistance R ?
"Jean-Christophe" a écrit dans le message de groupe de discussion : snipped-for-privacy@v20g2000yqv.googlegroups.com...
'soir,
par les symétries du problème tu pécho la forme des équipotentielles.
Tu as J=E/rho avec J le vecteur densité de courant. Tu l'intègres sur toute équipotentielle, ça te donne E(I) en tout point.
puis delta(V)= somme(E,dl) sur une ligne de champ.
ce qui est ennuyeux avec ta description est que tu passes pas loin à côté d'une symétrie sphérique...===>>> méthode des éléments finis...
si on reprend ton exemple mais avec un cône qui serait un bout conique de sphère creuse (=>symétrie sphérique), E= I rho / (2 pi r^2 (1-cos(alpha) ) où alpha est le demi-angle d'ouverture du cône. on arrive à R = rho * (1 / r1 - 1 / r2) / ( 2 pi (1 - cos(alpha) )
Je reconnais ta touche dans ton approche par la g=E9om=E9trie vectorielle des champs.
J'ai abord=E9 le probl=E8me plus modestement, c'est-=E0-dire =E0 la mesure de mes moyens !
En mode discret, je d=E9coupe le tronc de cone en N tranches d'=E9paisseur L/N pour sommer les r=E9sistances partielles. Les surfaces S1 et S2 ayant des rayons r1 et r2
R =3D (rho.L)/(pi.N) . sigma[k=3D0...N] { [r1+(k/N)(r2-r1)]^-2 }
En mode continu, idem avec des tranches d'=E9paisseur dL
Cela n=E9c=E9ssite de se procurer un bloc d'acier inox, d'avoir =E0 sa disposition un tour ou une fraiseuse, d'usiner avec pr=E9cision la pi=E8ce aux dimensions voulues, de faire des soudures ou un contact =E0 tr=E9s faible r=E9sistance, d'avoir un Ohm-m=E8tre mesurant mieux que des milli=E8mes d'Ohm, d'estimer la pr=E9cision et les erreurs de mesures, etc ... Le r=E9sultat de la mesure ne sera valable que pour cette pi=E8ce : une autre forme ou un autre m=E9tal, et il faut tout recommencer.
On peut aussi se contenter d'un crayon et d'un papier pour =E9crire une formule valable dans tous les cas. Voil=E0 ce que j'appelle =AB simple =BB.
La moyenne g=E9om=E9trique fonctionne aussi bien que la moyenne arithm=E9tique, alors quel est ton crit=E8re de d=E9cision pour le choix de la moyenne arithm=E9tique ?
Il me semble que, comme le disais très justement Robert Lacoste, le calcul se fait par une intégration réalisée après quelques petits calculs préalables:
1) On exprime tout d'abord le diamètre du cône en fonction de la hauteur. On observe que le diamètre est proportionnel à la hauteur.
2) On en déduit ensuite la surface s en fonction de la hauteur.
3) On élimine la constante de proportionnalité (et l'ordonnée à l'origine) en remarquant que:
C'est ce que j'ai fait, le rayon 'r' en fonction de la hauteur 'x' est : r =3D r1 + (x/L)(r2-r1) quand 'x' varie de z=E9ro =E0 'L', alors 'r' varie de r1 =E0 r2.
C'est aussi ce que j'ai fait : S(x) =3D pi . [ r1 + (x/L)(r2-r1) ] ^ 2
Ce qui donne : R =3D (rho/pi) int=E9grale[z=E9ro ... L] { [r1 + (x/L)(r2-r1)]^-2 . dL }
Parce-que dans le cylindre mod=E9lisant l'=E9lectrode, la configuration du courant se pr=E9sente comme suit :
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Or, la formule R=3Drho.L/S n'est valable que dans la situation ou le courant entre par SA pour sortir par SB, avec SA=3DSB. Autrement dit: aucun courant ne traverse la surface SL.
Par contre, dans le cas de l'=E9lectrode le courant entre par la surface SA et sort par les surfaces SL et SB : puisque SA < SL+SB on ne peut pas utiliser rho.L/S qui suppose implicitement S=3DSA=3DSB, =E0 section constante.
C'est pourquoi ma question concerne le calcul de la r=E9sistance =E9quivalente entre la surface (SA) et (SL+SB), uniquement =E0 partir du rayon et de la hauteur du cylindre, et de la r=E9sistivit=E9 du m=E9tal dont il est constitu=E9.
A priori cela =E0 l'air trivial, mais il semble bien que pour ce calcul on ne puisse se passer du recours =E0 l'alg=E8bre vectorielle pour le calcul des champs.
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