risonanza con reti LC complesse

Questa e' una domanda da Franco! Io tento una risposta, che e' una non risposta, e poi spero che intervenga Franco per dire una parola autorevole. Intanto, parlare di una frequenza di risonaza non ha senso in reti LRC arbitrarie, quasi certamente ci saranno svariate frequenze di risonanza. Se piu' in generale vuoi conoscere le correnti e tensioni che si sviluppano in funzione della frequenza, la faccenda e' molto complessa ed e' studiabile analiticamente solo in casi particolari. In tutti gli altri casi conviene l'approccio numerico, in altre parole, simulazione.

Un bel giorno Marco Trapanese digitò:

Devi calcolare l'impedenza in funzione di omega, poi trovare la omega che minimizza o massimizza il suo modulo (a seconda del tipo di risonanza). Pensa al caso di una rete con R, L e C in serie:

Z(s)=(R+sL+1/sC)

Ponendo s=jw e raccogliendo j,

Z(jw)=R+j(wL-1/wC)

Il modulo è la radice della somma dei quadrati di parte reale e parte immaginaria, quindi |Z|(w) = sqr[R^2+(wL-1/wC)^2].

Intuitivamente, per minimizzare |Z| in funzione di w si deve minimizzare il quadrato di wL-1/wC, che in questo caso equivale a quando wL-1/wC=0, cioè quando wL=1/wC (in altri casi più complicati dovremmo derivare in w e uguagliare a zero, per trovare i minimi della funzione). Dopo qualche passaggio elementare si ottiene

w^2=1/LC

E quindi w=±1/sqr(LC). Teniamo solo il valore positivo e ricordiamo che w=2*pi*f, così otteniamo:

f=1/[2*pi*sqr(LC)]

Per la risonanza parallelo è più o meno la stessa cosa, solo che in questo caso devi trovare il valore di w che massimizza |Z|.

Mi scuso per eventuali errori e semplificazioni messi per strada, comunque hai capito il senso. :)

Un bel giorno dalai lamah digitò:

Piccola puntualizzazione necessaria, dopo aver letto il messaggio di Valeria:

"La" omega o "le" omega, perché giustamente possono esistere più frequenze di risonanza (sia serie che parallelo). Le considerazioni analitiche non cambiano, ma nei vari casi potresti ottenere più di un minimo o di un massimo per |Z|.

Marco Trapanese ha scritto:

Potresti tentare trovandoti la funzione di trasferimento della rete e poi diagrammando con bode.

Ciao e spero di esserti stato d'aiuto.

Artemis

Forse mi hanno sempre spiegato le cose in modo erroneo ma quando frequentavo la scuola materna la maestra mi diceva sempre che la frequenza di risonanza di una rete R-L-C era quella per cui l'impedenza diventa puramente reale, senza componenti immaginarie.

Secondo la tua definizione anche una rete R-C avrebbe una frequenza di risonanza definita come minimo o massimo di impedenza.

A poco, secondo me, vale diagrammare con Bode. I passaggi matematici magari sono un po' fastidiosi ma sono quelli...

Bennny ha scritto:

intendi dire che occorre trovare w per cui Z(jw) sia reale?

Marco / iw2nzm

Un bel giorno Bennny digitò:

Esatto, e questa frequenza è per l'appunto quella che per una rete RLC minimizza il modulo dell'impedenza. Alla scuola materna ti hanno insegnato la regola per risolvere un caso particolare, ma non ti hanno spiegato come risolvere la questione in generale. Ad esempio, prendi la tua rete RLC e metti una resistenza R in parallelo a L oppure a C. A questo punto, quando scrivendo l'impedenza noterai che anche la parte reale dipenderà da omega, forse ti ricrederai sull'efficacia del tuo metodo. :)

Se applichi la "mia" definizione (ma anche la tua), ottieni che per una rete RC il punto di massimo è per f=+infinito e il punto di minimo è per f=0. È un caso estremo che ha una validità puramente matematica. Se vuoi eliminare questi casi puoi aggiungere alla definizione il fatto che le frequenze debbano essere nell'intervallo ]0,+inf[ .

Marco Trapanese ha scritto:

Se diagrammi con Bode (solo modulo, non la fase), troverai nel grafico una pulsazione per cui hai un guadagno davvero enorme. Quello è il picco di risonanza.

Ciao

Artemis

Visto che valeria mi ha tirato in mezzo, provo a dire la mia, anche se ammetto che non ho capito la domanda :-).

Quando dici RLC variamente disposti, intendi una L e una C in totale piu` un po' di resistenze, o in generale piu` L e C? Tanto come dire secondo ordine o anche maggiore del secondo ordine? Inoltre un'altra cosa che puo` cambiare l'analisi e` se stai considerando le impedenze di una rete o le funzioni di trasferimento fra due porte della rete (ad esempio un LRC usato come passa basso).

Prova a spiegare meglio cosa hai in testa, nel frattempo ci penso su un pochino, perche' la risposta non e` per nulla banale, e cosi`, su due piedi, ne so solo alcune parti (2 o 3 casi su 4), e devo schiarirmi un po' le idee, anche considerando che, se non mi sbaglio, sei all'universita`, ed e` meglio che le risposte siano ineccepibili :-)

Franco ha scritto:

nessun problema provo a riformularla :)

buona la seconda!

anche qui direi che mi riferisco alla seconda ipotesi. sotto vedo di spiegarmi meglio.

si, ricordi bene, sono a ing. delle TLC :)

potrei sintetizzare così: a lezione abbiamo visto il funzionamento degli amplificatori a RF. solite considerazioni riguardo il rumore, le prestazioni, ecc... ma quando si tratta di vedere concretamente qualche applicazione solo schemi di principio e mai un esempio di progetto completo :(

allora ho deciso di provarci io e a progettarmi un bell'LNA per i 137 MHz (per i polari) a mosfet. Nessun problema - spero - per la polarizzazione ma quando si è trattato di dimensionare i circuiti di ingresso e uscita (risonanti) sono iniziati i guai.

Generalemente si impiegano reti risonanti parallelo sul gate e sul drain per ottenere le prestazioni di selettività, risonanza e adattamento volute. Considerando poi le capacità parassite dei mos si aggiungono altri condensatori al circuito (anche se spesso finiscono in parallelo al circuito di accordo). Senza farla tanto lunga, prendiamo per esempio questo circuito (simile a quello che sto progettando, ma giusto per parlare della stessa cosa):

se voglio imporre le tre condizioni di cui sopra (f0, Q e Zin) devo scrivere le equazioni della rete, forzare i vincoli imposti(*) e verificare possibili soluzioni. Ma già il fatto di avere una presa centrale sulla induttanza di ingresso non fa più essere un semplice RLC parallelo... da qui la difficoltà di scrivere le equazioni di f0, Q e Zin(s).

Spero di aver esposto chiaramente il problema e ti ringrazio (anzi, vi ringrazio) per la pazienza e disponibilità!

Marco / iw2nzm

(*) ovviamente le condizioni sono da raggiungere con le due reti complessivamente. essendo sufficientemente disaccoppiate dal mos dual gate le tratto separatamente e faccio in modo che l'effetto combinato sia quel che voglio.

Dove hai letto nelle mie parole che la parte reale non deve dipendere da w? Ho detto solo che la parte immaginaria deve essere zero. La parte reale può dipendere da w, da C, da L, da R, da tutto quello che vuoi. Ma non deve esserci parte immaginaria.

Il Mon, 06 Jun 2005 19:23:24 GMT, Marco Trapanese ha scritto:

Dunque Marco...ho letto la risposta di Franco e la tua replica..provo ad elargirti i miei due eurocent ;)

La risposta alla domanda che ho riportato è che - per come mi ricordo - si ragiona sempre in termini di *poli* e *zeri* della risposta che stai analizzando. L'ordine della rete, ossia il numero di poli della risposta, presi ognuno con la propria molteplicità, è poi legato al numero di elementi reattivi della rete e a come sono connessi. Devi contare le capacità e le induttanze presenti nella rete e poi sottrarre il numero di quelle che sono "interdipendenti". E' una questione topologica e non mi ricordo esattamente come sia (Franco? Fraaaaanco?), ma per chiarirti il punto, se tu hai un RC questo ti dà un polo, se ora dividi la capacità in due C in parallelo, o in serie, l'ordine della rete non cambia, hai sempre e solo un polo. La questione è leggermente più articolata di così ma dovrei guardare nei librazzi per ricordarmi esattamente come stanno le cose. Spero che il concetto ti sia chiaro.

In linea di massima, dunque, direi che più che di frequenza di risonanza, per una rete "variamente composta di R, L, C", io parlerei di frequenzE di poli e zeri. Se il polo è complesso coniugato, allora hai risonanza e - ovviamente - puoi averne anche più di una coppia allo stesso punto in frequenza.

Venendo al tuo (nobile) intento di progettare o dimensionare un ampli per radiofrequenza...ho dato un'occhiata al link che hai postato. Non posso esserne sicuro, ma credo che anche quello sia un resonatore del secondo ordine. Per il discorso che ti facevo prima. Almeno considerando i componenti Ct e L1 e L2 come ideali. Se ci sono resistenze serie forse la cosa cambia.

Bisogna un attimino mettersi a dipanare la rete e a scriverne la funzione di trasferimento. Inoltre, quello che tu hai io lo chiamerei più un adattamento passabanda, che non un filtro. Questo è naturalmente il mio (umile) punto di vista...sono abituato a considerare i filtri solo in condizioni di impedenze uguali alle due porte.

Nel tuo caso, devi realizzare una rete che trasformi l'impedenza dell'antenna nella R di minimo rumore per il tuo ampli, invece.

Vorrei dirti, tra l'altro, di non sorprenderti troppo di trovare solo "circuiti di principio" nei tuoi studi...è normale. Se vorrai proseguire come progettista, scoprirai da te che la realtà di un progetto è ben più complessa...decisamente inaffrontabile in un libro che deve - invece - chiarire i punti base, mettere i paletti.

A parte questo inciso, ancora una cosina: a me capita di progettare circuiti a microonde. Tra le altre cose, anche amplificatori e come forse sai, l'adattamento di impedenza è un "must". Normalmente si usano linee di trasmissione e i cosiddetti "stub", prima o poi li vedrai all'opera :-)

Si hanno dunque "circuiti standard" di cui si conosce l'andamento in frequenza al variare delle caratteristiche (in questo caso, caratteristiche geometriche). Normalmente l'adattamento è di tipo passabasso del secondo ordine ma...Ho un librone di 1096 pagine intitolato "Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures", di Matthaei, Young, Jones, dal quale parto se devo disegnare reti di matching complicate...Un po' la domanda che ti facevi tu: "ma se devo andare oltre il classico LC, che faccio?". La risposta è che esistono delle strutture standard, che non sono altro che un certo "stadio" ripetuto in cascata, delle quali sono note e tabulate le caratteristiche. Quello che si fa è partire da questa struttura standard fatta di L e C con una risposta "normalizzata", calcolare come diventano le nostre L e C per la nostra banda di interesse e per i nostri livelli di impedenza, vedere se si possono implementare le L e C con oggetti fisici a nostra disposizione ;)

Spero di esserti stato d'aiuto!

Michele Ancis ha scritto:

con molto piacere!

si, ci sono.

ma la presa centrale sull'induttore di ingresso non fa proprio questo?

simulando un circuito rlc parallelo con l'induttanza spezzata in due e alimentata alla connessione delle due parti ho visto che la frequenza di risonanza varia al variare di come è stata divista la L.

Ricordo che stiamo parlando di circuiti di ingresso a RF, l'impedenza dell'antenna (Rg) è 50 ohm. Questa abbassa di molto il Q della parte inferiore della bobina per cui trasformando il parallelo (Linf||Rg) in serie abbiamo che il valore dell'induttanza cambia modificando perciò la frequenza di risonanza.

hai ragione, ma considera il circuito nel complesso: rete di adattamento di ingresso, amplificatore, rete di adattamento di uscita. L'ingresso e l'uscita sono a 50 ohm quindi si può parlare anche di filtro (attivo) IMHO. Quello che voglio dire è che ai fini delle prestazioni non serve solo adattare l'impedenza ma anche avere la curva di risposta delle due reti (congiunta) voluta.

certo, ma questo è solo un grado di libertà. Avendo più elementi reattivi si dovrebbe poter dimensionare il tutto soddisfando - con i soliti compromessi - più vincoli.

mmm... perdonami se dissento. da un punto di vista generale sono d'accordo ma se non si impara all'università e in particolare a ingegneria a progettare... dove si impara? so bene che la strada non è certo facile ma almeno *una* volta in tre anni (vedremo alla specialistica) affrontare le problematiche di un progetto completo mi sembra doveroso, altrimenti non si ha la minima idea di cosa vuol dire progettare. io non mi ritengo - purtroppo - affatto in grado di progettare (soprattutto in elettronica analogica) perchè ci ho provato e mi rendo conto della difficoltà e dell'esiguità delle nozioni che ci hanno dato in proposito, ma altri miei colleghi non hanno nemmeno idea che ci possono essere questi tipi di problemi :(

li abbiamo studiati, certo. teoricamente, usando la carta di smith.

dal "vivo" li ho conosciuti tentando qualche tempo fa di farmi un LNA per ATV...

questo è interessante. nel senso che - ingenuamente - credevo che questo tipo di approccio fosse appannaggio dei "dilettanti"... invece vedo che è usato anche ad alti livelli! praticamente si tratta di conoscere per bene dei mattoncini già studiati da altri e saperli collegare assieme (compito tutt'altro che facile, immagino).

certamente! :) Marco / iw2nzm

Marco Trapanese wrote in news:onkqe.53690$ snipped-for-privacy@twister1.libero.it:

sicuramente non a ingegneria (almeno così era nel vecchio ordinamento). L'università ti da i metodi generali di studio e la visione di insieme, ma non i dettagli necessari per risolvere il singolo specifico problema.

Vero.Sarebbe auspicabile. E, in effetti, questo sarebbe dovuto essere uno degli obiettivi della triennale. Però.... non è che puoi cambiare da un giorno ad un altro la didattica...

Questo è il lato peggiore dell'università. Sono tanti i neolaureati che escono con la, perdonami il termine, "presunzione" di sapere tutto :-(

In realtà più sai e più scopri di non sapere... ;-)

Anche questo è un altro difetto di ingegneria (almeno per la mia esperienza): riuscire a convincere che l'unico approccio corretto è quello "accademico".

Ciao, AleX

Visto che sto facendo di tutto meno che lavorare sul tuo problema, e che comnunque una risposta era promessa, dico qualche parola in liberta`. Sono andato a prendermi alcuni articoli che dovrei ristudiare per poi fare un po' di conti in proposito.

Allora, distinguo fra sistemi del secondo ordine o sistemi di ordine superiore (tipicamente pari, dato che sono importanti le coppie di poli complessi coniugati). In alcuni casi si deve anche distinguere fra impedenze (o transimpedenze) e funzioni di trasferimento adimensionate, perche' queste ultime hanno il grado del numeratore minore o uguale a quello del denominatore, mentre nelle impedenze questa limitazione non vale.

Per il tuo problema specifico, oltre alle condizioni che hai detto, ci sono anche quelle di stabilita` dovuto all'interazione fra fra ingresso e uscita del transistori (cerchi di stabilita` sulla carta di smith).

Sistemi (semplici) LC del secondo ordine:

Le difficolta` nascono subito, per definire la frequenza di risonanza. La definizione che utilizzo e` che la frequenza di risonanza e` data dalla distanza dei poli dall'origine sul piano complesso s.

Nel caso di reti semplici, la pulsazione dei poli e` 1/SQRT(LC), che pero` NON e` necessariamente la frequenza a cui si ha ad esempio il minimo o il massimo dell'impedenza della rete. Anche per le funzioni di trasferimento capita una cosa analoga: il massimo della fdt puo` capitare a una frequenza diversa da quella di risonanza. Ad esempio il un passa basso con carico resistivo, il picco della fdt e` a frequenza minore di quella dei poli.

Se invece si guarda nel dominio del tempo la risposta all'impulso, tipicamente una sinusoide smorzata (per gli amici cissoide), la frequenza della cissoide NON e` la frequenza dei poli e NEPPURE quella del picco della fdt. Per il passa basso di prima i poli sono a frequenza piu` alta di quella della cissoide, a sua volta piu` alta di quella del massimo della fdt.

Per reti complesse non lo so, devo usare la condizione di passivita` sui una matrice di parametri H, e usare il teorema dei due elementi aggiunti per vedere dove vanno a finire i poli.

Nel caso di reti di ordine piu` elevato, con piu` coppie di poli complessi coniugati, la situazione e` ancora piu` incasinata, perche' ad esempio la risposta nel tempo e` formata da sovrapposizione di sinusoidi smorzate a frequenze diverse; per il modulo della funzione di trasferimento, ad esempio di un passa basso tranquillo (niente zeri al finito, Q dei poli elevati), i massimi della fdt possono essere all'incirca ovunque, sia a frequenza piu` alta che piu` bassa della frequenza dei poli.

Franco ha scritto:

Ti ringrazio! :)

ok

bene, questa cosa mi manca e vado subito a cercare materiale

uhm... in effetti l'argomento è complesso (se mi passi il gioco di parole...) e mi sa che andrò a farmi qualche simulazione con spice per capirci un po' di più!

riassumendo, in generale non c'è una 'regoletta' che permette di capire immediatamente il comportamento di una rete comunque complessa. Perciò si torna a ciò che Michele Ancis mi aveva detto a suo tempo: e cioè che nella progettazione ci si rifà a blocchi più o meno elementari di cui esiste già una letteratura in merito alle sue caratteristiche, piuttosto che andare a inventarsi (e poi studiarsi) una rete ex-novo.

Grazie mille, Marco / iw2nzm

Allora prova con un passa basso LC, con sorgente di tensione e carico R in parallelo al C di uscita. L'impedenza caratteristica del filtro e` Z0=SQRT(L/C), e metti una R che sia un po' maggiore di Z0, in modo da avere un Q non troppo basso.

Allora, la frequenza dei poli (modulo della distanza dei poli dall'origine nel piano s vale 1/SQRT(LC)= omega0.

La frequenza del massimo del modulo (picco della funzione passa basso, per Q>SQRT(0.5))), e` a omega0 * SQRT(1-1/(2 Q^2)), mentre se guardi la risposta nel tempo, la frequenza del ringing (passaggi per lo zero) e` a omega0 * SQRT (1-1/(4 Q^2)).

Per reti qualunque no, ma quelle piu` usate sono entrate nella conoscenza comune.

Qualche volta si fa, ma di rado. Spesso non si inventa ex novo la rete ma se ne modifica cum grano salis una gia` esistente.