problema analisi Fourier

supponiamo di avere un segnale che da un tempo infinito assuma valore

0; dal tempo 0 al tempo t, assuma dei valori qualsiasi e dal tempo t in poi ritorni al valore nullo. Ora immaginiamo di scomporlo secondo il teorema di Fourier in infinite onde sinusoidali: cosa cambia se invece di effettuare Fourier in blocco (da 0 a t), suddivido l'intervallo in 2(o più parti) ed eseguo Fourier sui singoli spezzoni? inoltre, è possibile effettuare Fourier da un tempo -10 al tempo t+10, considerando cioé anche quelle zone (precedenti e successive all'intervallo 0-t) in cui il segnale è nullo? che cosa succede nelle zone di discontinuità, cioé le zone di attacco (0) e distacco del segnale (t)? grazie.

Premessa: essendo una funzione non periodica, il risultato sara' una trasformata di Fourier e non una serie. Ovvero, le frequenze w_i costituiranno uno spettro continuo e non discreto. Puoi avere invece una serie se ripeti periodicamente, in qualche modo (ne esistono infiniti), la parte non nulla al di fuori dell'intervallo di definizione.

Come procedi esattamente? Forse intendi questo:

annulli la funzione al di fuori dell'intervallo [0,t/2] (per esempio), lasciandola inalterata altrove, e fai la TdF su questa; poi annulli la funzione al di fuori dell'intervallo [t/2,t] e fai la TdF su questa.

In questo caso ottieni due TdF la cui somma da' la TdF iniziale. Basta tener conto della definizione della TdF, che e' un integrale.

Per la trasformata non cambia nulla: stai semplicemente aggiungendo all'integrale delle zone a contributo nullo.

Non mi risulta che succeda nulla di speciale, in linea di principio. Nella pratica, se in quei punti sono di discontinuita', allora come in tutti i punti di discontinuita' sono punti dove la trasformata converge piu' lentamente (ovvero dove devi prendere un numero piu' alto di componenti k per ottenere una precisione prefissata).