Media e varianza in sistemi LTI

- M
- Marco Trapanese
  
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pubblicata
18 anni fa

Sun, Feb 5, 2006 2:51 PM

Ciao,

non è propriamente un quesito 'elettronico' ma magari c'è qualcuno che sa darmi una mano...

Sto preparando un esame di TLC e mi sono imbattuto in una formula "piovuta dal cielo" che non ho trovato sui testi nè ho capito come applicarla.

In sintesi: ho un sistema LTI di cui conosco la funzione di trasferimento H(f). In ingresso ho un segnale descritto da una variabile aleatoria con ditribuzione gaussiana, con media ux e varianza sigma2x definite.

Voglio conoscere media e varianza all'uscita (y) del sistema.

Per la media è facile: uy = ux * H(0).

Per la varianza seguo la procedura:

1) Calcolo la d.s.p. all'uscita Sy(f) = Sx(f) * ABS(H(f))^2 2) Antitrasformo e trovo l' autocorrelazione Ry(u) = F^(-1){Sy(f)} 3) Calcolo la varianza come la differenza tra l'autocorrelazione in 0 e il qudrato della media.

Bene. Se però H(f) è ad esempio:

H(f) = 1 - 1,5exp(-j*4*pi*f)

si può calcolare al volo la varianza come:

sigma2y = sigma2x * (1 + 1,5^2)

Ecco... da dove deriva questa formula? Quale è la sua generalizzazione (ovvero l'espressione letterale) ?

Grazie a chi mi darà una mano! Marco / iw2nzm

- N
- Nevecrino
  
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pubblicata
18 anni fa

Sun, Feb 5, 2006 8:42 PM

Premesso che mi ricordo poco di teoria dei segnali, posso cercare di giustificare il metodo (tanto è tutto il giorno che studio analisi complessa ... trasformata di Fourier in più o in meno :-) con un filtro del tipo

H(f) = a + b*exp(-j*2*pi*k*f)

seguendo la strada che hai tracciato tu. Infatti:

|H(f)|^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cos(2*pi*k*f) Sy(f) = Sx(f) * (a^2 + b^2 + 2ab*cos(2*pi*k*f)) Ry(t) = F^(-1) {Sx(f) * (a^2 + b^2 + 2ab*cos(2*pi*k*f))} = = (a^2 + b^2)*Rx(t) + ab*(Rx(t+k) + Rx(t-k))

Ry(0) = (a^2 + b^2)*Rx(0) + 2ab*Rx(k)

Con le ulteriori ipotesi che (i) il segnale sia totalmente scorrelato (rumore bianco?) o che il tempo di correlazione sia molto inferiore a k (cosicché Rx(k) sia trascurabile) (ii) il segnale in ingresso (e quindi quello in uscita) siano a media nulla

si ottiene:

sigma2_y = Ry(0) = (a^2 + b^2)*Rx(0) = (a^2 + b^2)*sigma2_x

risultato che è indipendente dalla gaussianità o meno del processo, mi pare.

P.S. Ovviamente posso anche aver detto vaccate ... controlla sui sacri testi! ;-)

P.P.S. Come va in quel di Milano?

Ciao!

Jader

- M
- Marco Trapanese
  
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pubblicata
18 anni fa

Mon, Feb 6, 2006 8:25 AM

Nevecrino ha scritto:

Ecco.... mi perdevo qui! Quando antitrasformavo non facevo altrettanto con Sx(f) -> Rx(t), pur ben sapendo che l'uno è la trasformata dell'altro... e quindi non sapevo come procedere :(

Ok, ora è tutto chiaro!

Si, in effetti, ciò che dovrebbe essere importante come hai detto è:

scorrelazione del segnale

media nulla

Purtroppo di testi sacri non ne ho... ho un libro che pare più un sunto del sommario dell'introduzione di un riassunto. Me ne sono accorto forse un po' tardi... meglio tardi che mai, anche se non è mai troppo tardi :)

Te lo dico tra una settimana, appena passati gli ultimi due esami :)

Oh! Chi si rivede!!! Non sapevo scrivessi anche qui! :)

Grazie mille della dritta... come sempre!

Marco / iw2nzm