komplexe Fourier Analyse: Nutzen?

Das ist wohl auch die "normale" DFT.

Zeit- Freq- Zeit- bereich Bereich bereich ----- ------ re - | | - re´ - | | - re | DFT | | IDFT | im - | | - im´ - | | - im ----- ------

Die schwarze Schachtel kriegt ab Eingang reale & "imaginäre" Daten und liefert am Ausgang dito. Die Rücktransformation IDFT erzeugt dann wieder das Orginalsignal. In den üblichen Anwendungen hat man nur ein Signal, also ist "im" am Eingang Null.

MfG JRD

Man kann aber auch jeweils ein Signal an re und an im legen (z. B. in der Praxis U und I) dann die DFT oder FFT. Über eine spezielle Formel erhält man getrennt im Frequenzbereich die fouriertransformierten von U und I getrennt. Es ist also nur eine FFT notwendig, um 2 Signale zu transformieren.

Juergen Dengg schrieb:

A_n und B_n sind die Koeffizienten der komplexen Zahl An+B_n*i

Wenn Du auf das reine Frequenzspektrum anspielst, sind es im Grunde dieselben Koeffizienten, wobie, wie schonmal beschrieben, jeder Spektraklanzeil auch eine Phasenlage besitzt. Diese Information ist im reinen Amplitudenspektrum nicht enthalten, man könnte die Koeffizienten auch anders darstellen.

Entweder

- Amplitide/Phasenwinkel - Amplitude Realteil/Imaginärteil

Beide lassen sich aufeinander zurückführen. Ohne Phasenwinkel wäre des das reine Amplitudenspektrum. Es lässt sich ohne Phaseninformation keine eindeutige Rücktransformation in die ursprüngliche Wellenform vornehmen, erst durch Hinzuziehen der Phasenbeziehung aller Oberwellen ergibt sich eine eindeutige Rücktransformation.

Alles klar?

Gruss Udo

Der "Funkenschuster" ist aus Gründen der leichteren Rechnerei gewöhnt mit Amplituden und Phasen zu rechnen und die stellt man am einfachsten mit den komplexen Zahlen in Polardarstellung dar.

Wenn man nicht gerade nur Dreieck und Rechteck in seine Teile zerlegt, kann sich nämlich der Fall ergeben, daß für bestimmte Frequenzen sowohl a_n als auch b_n ungleich 0 sind. D.h. wenn man dann auf die Amplitude und die Phase der jeweiligen Oberwelle schließen will, muß man dann erst Betrag und Phase ausrechnen.

Auch ist die Darstellung mit komplexen Koeffizienten näher an ihrer Schwester, der Fouriertransformation.

Robert

Wenn ich ein "normales" Signal f(t) habe, dann gibt es keinen Imaginärteil. Es handelt sich immer um eine reele Zeitfunktion. Daran ändert sich auch nichts, wenn die verschiedenen Frequenzanteile eine Phasenverschiebung haben. Wenn ich f(t) nun in F(jw) transformiere, erhalte ich ein komplexes Frequenzspektrum bei dem aber aufgrund des reelen Eingangssignals die positiven und negativen Frequenzanteile gleich sind. Das Spektrum ist also symmetrisch um 0. Deshalb benötigt man dann nur noch das halbe Spektrum, das dann aber als komplexes Spektrum.

Genauer gesagt: Obwohl im Zeitbereich der Imaginäranteil 0 ist, f(t) also reell, erhalte ich in der Regel im Frequenzbereich etwas komplexes.

Wenn man sich nun nur für das Betragsspektrum oder das Leistungsspektrum interessiert und die Phaseninformation wegschmeißt, kann man nicht mehr das ursprüngliche f(t) zurückrechnen.

Interessant wird das ganze, wenn ich Systeme beschreiben will, bei denen ein Signal mehrere Blöcke mit komplexen Übertragungsfunktionen durchläuft. Dann transformiere ich zunächst mein f(t) nach F(jw), berechne aus F(jw) und der Übertragungsfunktion mein Ausgangssignal G(jw) und durch Rücktransformation mein Ausgangssignal im Zeitbereich g(t). Wenn alles richtig war, dann ist der Imaginärteil von g(t) wieder 0.

Diese Symmetrieeigenschaft kann man nutzen, wenn man zwei Signale transformieren muß, indem man aus f1(t) und f2(t) eine komplexe Zeitfunktion f(t) macht (errechnet), wobei f1(t) z.B. den Realteil und f2(t) den Imaginärteil beschreibt. Aus dem Ergebnis F(jw) kann man dann sehr einfach, d.h. schnell, F1(jw) und F2(jw) berechnen. Man spart mit dieser Methode unter Umständen eine Menge Rechenzeit.

Gruß

Stefan

Mit einer CFFT können auch doppelt so viele reelle Datenpunkte transformiert werden. Der Algorithmus zum Auseinanderpfriemeln der Resultate ist sehr ähnlich dem oben erwähnten, der seiner- seits mit der inneren Schleife der FFT verwandt ist. Ob sich bei heutigem Rechenpower der Programmaufwand noch lohnt, ist eine andere Frage.

Leider bekommen viele das in den falschen Hals. Ich erhalte Sinus- und Cosinuskomponenten, oder eine Amplitude plus eine Phaseninformation. Da ist nichts "imaginäres" dabei. Die komplexen Zahlen sind hier nur ein beschreibendes Hilfsmittel durchaus reeller Sachen. Von Millimeterpapier bis Molekül- orbitalen, gibt's alles nicht in der Natur und wurde künstlich vom Menschen ausgedacht. Aber sehr praktisch.

Hihi, find ich immer wieder lustig, wenn die Leute eine Dreieckschwingung analysieren, Betrag bilden und wieder synthetisieren.... Immerhin lernt man, dass völlig verschieden aussehende Signale gleiche power Spektren haben können und die Oberwellen nicht unbedingt in auffälligen Ecken und Kanten stecken müssen :-)