Witam wszystkich elektroników!!!
Kolega poprosił mnie o pomoc w rozwiązaniu zadania z teorii obwodów.
Dana jest kwadratowa kratownica: _ _ _ _ _ |_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_| |_|_|_|_|_| _ _ _ |_|_|_| |_|_|_| |_|_|_|
każda kreseczka (zarówno pionowa jak i pozioma) to jeden rezystor. Każdy z nich ma tę samą rezystancję R
Na powyższym rysunku jest przypadek "kratownicy" dla n=4 i dla n=6 (bo sześć kresek zarówno w pionie jak i w poziomie). W sumie dla n=4 jest 24 rezystory Dla n=6 jest 60 rezystorów
Rozpatrujemy tylko przypadki parzystych n.
Zadanie polega na obliczeniu rezystancji zastępczej tego układu widzianej między przeciwległymi zaciskami w środku tej kratownicy (na głównej przekątnej kratownicy). Inaczej, jeżeli poprowadzimy przekątną główną (linię wzdłuż przeciwległych rogów kratownicy, to ona bedzie przechodzić przez takie małe kwadraciki ("oka sieci"). Nasze punkty leżą dokładnie w środkowym kwadracie na tej przekątnej.
Jaśniej tego już nie umiem wyjaśnić
W zadaniu nalezy policzyć tę rezystancję dla n=10, 100 i na końcu dla n w ogólnosci.
Dla bardzo małych n, (4,6) (chociaż dla 6 już z wielkim trudem) można obliczyć to zadanie stosując przekształcenia gwiazda-trójkąt. Oczywiście widać, jednak, że tu zupełnie nie o to chodzi.
Postanowiłem zadanie potraktować podobnie jak liczy się rezystancję zastępczą sieci tranzystorów ułożonych w sześcian. (każda krawędź sześcianu to 1 rezystor) i nalezy tam obliczyć rezystancję między przeciwległymi punktami takiej sieci (punkty te to końce głównej przekątnej sześcianu).
(kwadrat ABCD to dolna podstawa sześcianu) (kwadrat EFGH to dolna podstawa sześcianu) Numeracja wierzchołków przeciwna do ruchu wskazówek zegara
Czyli poszukiwana rezystancja to R AG
W tamtym zadaniu (mówię teraz o sześcianie) zakłada się że do jednego z tych punktów dopływa prąd o wartości I, a drugim punktem ten prąd wypływa).
zauważam, że U_ag=U_ab+U_bc+U_cg Przez gałąż ab przepływa prąd 1/3 I Przez gałąż bc przepływa prąd 1/6 I Przez gałąż cg przepływa prąd 1/3 I
Czyli: Ua_ag= I * R_ag = I*1/3*R + I*1/6*R + I*1/3*R
Po podzieleniu wychodzi: R_ag = 5/6*R
Tak to wygląda w tamtym zadaniu (niestety tam WSZYSTKO jest symetryczne) tu w "kratownicy" NIE.
Jeżeli na razie postanowię nie liczyć rezystancji poszukiwanej w zadaniu, tylko poszukam rezystancji między punktami AG _ _ _ <----B |_|_|_| |_|_|_| |_|_|_| ^^^ | | | ACD
Tak jak w zadaniu z sześcianem zakładam, że do punktu A wpływa prąd I, z punktu B wypływa prąd I.
Wtedy oczywiście prąd na początku rozpływa się symetrycznie (I_ac =1/2 I)
Ale potem już tak łatwo nie jest (bo niestety prąd I_cd =/= 1/4 I) Wynika to z faktu, że rezystancja układu widziana między punktami CD jest różna od rezystancji układu między punktami (C i tym wyżej )
Próbowałem jakoś ten prąd uzależniać od budowy sieci, ale to jest Syzyfowa praca, bo w ten sposób musiałbym przeprowadzić tożsamy rozkład prądów dla każdej krawędzi.
Tak więc ten pomysł ugryzienia tego zadania upadł, bo tu niestety nie ma idealnej symetrii (prądy nie połowią się na każdym połączeniu).
Nic nie dało mi również podzielenie układu na dwie półówki (wzdłuż przekątnej, bo taki podział jest symetryczny) i rozpatrywanie każdej oddzielnie. Ten pomysł też upadł, bo rezystancja zastępcza takiego czegoś ma więcej końcówek niż 2.
Kolejny pomysł był taki, żeby znaleźć podobne przekształcenie jak zmiana trójkąt-gwiazda, tylko że kwadrat w krzyż _ |_|
^ || \/
\/ /\
wtedy nasz układ redukowałby się do układu o 1 mniejszego (zamiast n linii miałby n-1) _ _ _ |_|_|_| |_|_|_| |_|_|_|
/\ || \/ _ /_|_|_\ |_|_|_| \ |_| /
/\ || \/
\/\/\/ /\/\/\ \/\/\/ /\/\/\ \/\/\/ /\/\/\
Ale takie liczenie niestety za bardzo przypomina zwykłe przeliczanie gwiazda- trójkąt (strasznie rachunki) i zupełnie nie pozwala na dostrzeżene głębszej zależności.
Zacząłem przeszukiwać siec, na razie tylko polską, ale wyniki są marne. Po prostu google jest dobry do wyszukiwania popularnych linków, ale specjalistyczne artykuły (o ile w ogóle są) nie znajduje już z taką łatwością.
W tym momencie wyczerpały mi się ewentualne pomysły. I przybywam tutaj. Być może ktoś słyszał coś o takich sieciach. Zna jakiś link do artykułu na ten temat. Może w jakimś czasopiśmie kiedyś to było. Słyszałem również, że tego typu zagadnienie jest znane pod nazwą "sieci......" Niestety nie wiem kogo ;(
Za wszelki ewentualny odzew z góry dziękuję.
PS Domyślam się, że ogólny dowód nie jest prosty i na pewno wymaga dostrzeżenia kilku "(od razu rzucających się w oczy") faktów, których niestety ja nie potrafię dostrzec)
PPS Coraz bardziej dochodzę do wniosku, że ruszyłem z motyką na słońce