Ciao a tutti, sto leggendo un articolo dove si fa riferimento al calcolo della resistenza vista dalla generica porta_i che viene calcolata come il rapporto fra il determinante della matrice delle ammettenze ed il determinante del minore della stessa matrice dove la prima riga e la prima colonna vengono eliminate in formule:
Rii= Det/Det_m
con :
Rii= resistenza vista dalla porta i-esima
Det= determinante della matrice delle ammettenze
Det_m=determinante della matrice ricavata togliendo la prima riga e la prima colonna dalla matrice delle ammettenze.
Io ho provato a verificare la formula con questo schema:
[FIDOCAD] LI 30 25 30 30 MC 30 30 1 0 080 LI 30 45 30 40 LI 40 25 30 25 MC 40 25 0 0 080 LI 50 25 60 25 LI 60 25 60 30 MC 60 30 1 0 080 LI 60 40 60 45 LI 30 45 60 45 TY 20 30 5 3 0 0 0 * R1 TY 65 30 5 3 0 0 0 * R3 TY 40 15 5 3 0 0 0 * R2 MC 15 25 2 0 000 MC 15 45 2 0 000 MC 75 25 0 0 000 MC 75 45 0 0 000 LI 15 25 30 25 LI 60 25 75 25 LI 75 45 60 45 LI 30 45 15 45 LI 20 25 25 25 TY 5 30 5 3 0 0 0 * V1 TY 80 30 5 3 0 0 0 * V2
Ed i conti non mi tornano.
Infatti, considerando un generico biporta si ottiene:
Det= G11*G22-G21*G12
Det_m= G22
R11= (G11*G22-G21*G12)/G22 = G11 - G21*G12/G22
Quel G21*G12/G22 non vedo come possa essere eliminato, quindi nel mio ragionamento c'è qualcosa che non funziona?
Potreste speigarmi dove sbaglio?
Grazie fin d'ora a chi mi vorrà aiutare!
Francesco
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La dignità non consiste nel possedere onori, ma nella coscienza di
meritarli.
Aristotele
Per rispondermi in privato togliere i numeri!
Da come lo descrivi, il metodo mi fa pensare alla regoletta di Kramer per risolvere un sistema lineare. Di che articolo si tratta? Mi pare che ci sia un bel po' di confusione. Dire "resistenza vista dalla generica porta_i" non vuole dire nulla, se non sai come sono caricate le altre porte (altrimenti, non staremmo a fare calcoli matriciali). Se sono tutte in corto circuito (le tensioni valgono zero), salvo la porta_i, non ci sono calcoli da fare, basta prendere il termine Gii. Se invece sono caricate su un circuito aperto (le correnti valgono zero), c'=E8 in effetti qualche calcoletto da fare per vedere l'ammettenza (di circuito aperto) sulla porta_i. In particolare, c'=E8 un sistemino da risolvere, che =E8 poi quello di cui sospetto tu stia parlando. L'inverso dell'ammettenza calcolata cos=EC ci dar=E0 l'impedenza a vuoto sulle varie porte.
Se R11 =E8 una resistenza, come pu=F2 essere uguale ad un termine che ha le dimensioni di una conduttanza? C'=E8 sicuramente qualcosa che non va.
Ad ogni modo, ti lascio verificare che il termine G11-G21*G12/G22 =E8 l'ammettenza che si vede sulla porta 1 quando la porta 2 =E8 aperta. L'inverso ti d=E0 l'impedenza a vuoto della prima porta. Ho il sospetto che tu sia incappato nelle trasformazioni da matrice di ammettenza di corto circuito a matrice di impedenza a vuoto. E' cos=EC?
Si propone di esporre un metodo per la determinazione della funzione di trasferimento.
In effetti penso si parli di resistenza vista dalla generica porta_i con le altre porte aperte...
Direi proprio di si!
Ho sbagliato a scrivere, la formula verrebbe così: R11=G22/(G11*G22-G21*G12)
Però adesso che ci penso (meglio tardi che mai) G11 è l'ammettenza vista in ingresso con la tensione di uscita uguale a zero, quindi non è semplicemente l'inverso di R11 che invece viene calcolata con la corrente di uscita uguale a zero.
Quindi non posso aspettarmi che R11=1/G11?
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Aristotele
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Anche in questo modo non c'è verso di fare tornare quella cavolo di uguaglianza, eppure in qualche modo deve tornare.
Ho provato a fare i conti su un semplice partitore per semplificare i calcoli ma qualsiasi R11 calcoli (con uscita in corto o aperta) non soddisfa mai l'equivalenza con la matrice di ammettenze in corto circuito (la matrice di ammettenze in circuito aperto non ho idea di come calcolarla).
Se intervenissero Franco o GaLois che conoscono l'articolo di cui parlo...
Grazie comunque a Darwin per l'aiuto già dato ed agli altri che vorranno eventualmente intervenire.
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Aristotele
Per rispondermi in privato togliere i numeri!
Sembra troppo bello ed elegante per non essere vero :-) Ma c'è qualcosa che non mi convince (vedi sotto).
La regoletta che descrivi è quella per il calcolo della matrice inversa, dove ciascun elemento è sostituito col suo inverso. Praticamente ogni elemento è l'inverso del corrispondente elemento preso dalla matrice inversa...Chiaro no? :-p Insomma, se fai Det_m/Det calcoli la matrice inversa. Se fai Det/Det_m, stai facendo l'inverso elemento per elemento della matrice inversa.
Da qui si deduce, come fa notare Darwin che c'è qualche problemino con le dimensioni... Non sarà per caso Det_m/Det ??
L'articolo non dice niente sui segni?
Beh, diciamo che non hai scelto proprio l'esempio più semplice ;-)
Ho provato con un altro esempio (di simile complessità, 3 resistenze a T) perchè non mi ricordavo quale avevi usato tu. Ho fatto un sacco di pasticci e alla fine il risultato era "simile" (alcuni termini non si eliminavano ma...) quindi sembra che la regoletta (o la sua inversa?) debba funzionare se fai le cose ordinate. Se vuoi ti posto i miei scarabocchi.
Non devi ritrovarti G11, ma la R11, che in termini delle tue resistenzine R1,R2,R3 è qualcosa di diverso dal semplice 1/G11. Esattamente come l'inverso di una matrice 2x2 non è semplicemente l'inverso dei suoi elementi.
Mi rendo conto che le mie spiegazioni stamattina sono un po' confuse... Fammi sapere se quello che ho scritto non è comprensibile :-)
Piuttosto, la matrice di impedenza di circuito aperto.
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Se mai tu fornissi un riferimento bibliografico completo, magari potrei capire anch'io di cosa stai parlando, non credi? La mia sfera di cristallo USB =E8 rotta in questi giorni :-)
Si tratta forse di capire la resistenza vista ai capi di un condensatore per capire quando questo interviene oppure no? Avevo visto qualcosa del genere qui sul ng in passato.
o
Cerchiamo di fare qualche calcolo sull'esempio che fornisci, la rete a pi greco con le tre resistenze. Calcoliamo dapprima la matrice di ammettenza di corto circuito. Dato che non hai le idee chiare, ti richiamo qualche elemento. Date le tensioni v1 e v2 alle due porte e le correnti i1 e i2 prese con la convenzione di segno degli utilizzatori, possiamo scrivere:
i1 =3D Y11*v1 + Y12*v2 i2 =3D Y21*v1 + Y22*v2
Dove la matrice di ammettenza Y di corto circuito =E8 formata dai quattro elementi Y11, Y12, Y21 e Y22. Noterai che evito di chiamarli Gij come hai fatto tu, perch=E9 mi fanno pensare alla matrice ibrida inversa e mi torna comodo per il seguito, dato che utilizzer=F2 G per l'inverso delle resistenze nel circuito.
Dalla definizione, vedi immediatamente come ricavare i vari elementi della matrice:
Y11 =3D i1/v1 quando v2 =3D 0 Y12 =3D i1/v2 quando v1 =3D 0 Y21 =3D i2/v1 quando v2 =3D 0 Y22 =3D i2/v2 quando v1 =3D 0
Se facciamo i calcoletti nel circuito che hai fornito tu, ponendo G1=3D1/ R1, G2=3D1/R2 e G3=3D1/R3, si ottengono Y11 e Y22 praticamente a vista, calcolando l'ammettenza vista nella porta che ci interessa, chiudendo l'altra su un corto circuito: Y11=3DG1+G2 Y22=3DG3+G2 Per calcolare Y12, basta chiudere la prima porta su un corto circuito e calcolare la corrente che vi scorre applicando una tensione v2 sulla seconda porta (occhio al segno): Y12 =3D -G2 E si fa lo stesso in maniera simmetrica per Y21, ottenendo Y21 =3D -G2, come d'altronde potevamo aspettarci in un doppio bipolo reciproco.
Disponendo della matrice di ammettenze di corto circuito, si pu=F2 passare alla matrice di impedenze di circuito aperto semplicemente invertendola, e si ottiene: det(Y)=3DY11*Y22 - Y12*Y21=3D(G1+G2)*(G3+G2)-G2^2=3DG1*G3+G1*G2+G2*G3
Quando non ti interessa calcolare TUTTI gli elementi di una matrice inversa, risulta particolarmente comodo il metodo della matrice dei cofattori, descritto qui:
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Noterai che un cofattore =E8 proprio il determinante di un minore. Il tutto =E8 legato, per l'appunto, alla famosa regola di Kramer per la risoluzione di un sistema lineare. Volendo quindi calcolare l'impedenza a vuoto vista per esempio dalla porta i-esima, si pu=F2 calcolare il determinante della matrice di ammettenza ed il determinante del minore ottenuto eliminando la i-esima riga e la i- esima colonna (ottenendo il cofattore). Il rapporto fra il cofattore ed il determinante cos=EC calcolato ti dar=E0 la soluzione che cerchi (e difatti, ha le dimensioni di un'impedenza e non di una conduttanza). La prima relazione che riporti nel tuo primo post =E8 sbagliata: bisogna prendere l'inverso.
Facciamo una verifica per chiarirci le idee. Proviamo a determinare a vista nel circuito a pi greco, ci=F2 che si ottiene calcolando l'impedenza alla prima porta, lasciando la seconda a vuoto e vediamo se il risultato =E8 identico a quanto calcolato con la regola vista sopra: Z11 =3D R1//(R2 + R3)=3D(1/G1) // (1/G2 + 1/G3) Con un po' di algebra, si ottiene facilmente Z11 =3D (G2+G3)/ (G1*G2+G2*G3+G1*G3), che =E8 esattamente il risultato che abbiamo calcolato sopra applicando il calcoletto con i cofattori, che =E8 poi quello di cui parli.
La tecnica =E8 completamente generale e non si limita alle matrici di dimensioni 2x2.
Difatti =E8 cos=EC. Oltre tutto, interessandosi alla porta i-esima, nel calcolo del cofattore Det_m bisogna lasciare da parte la riga e la colonna i esime e non sempre la prima, come riportato nel primo post.
Assolutamente. Sono calcolate una con la porta 2 in corto circuito e l'altra con la porta 2 in circuito aperto; due situazioni molto diverse.
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