PT2-Glied Frequenzgangdarstellungen

Moin, Wolfgang,

Mit G2 können beliebige PT2-Systeme (zwei Pole auf der reellen Achse oder zwei konjugiert komplexe Pole) durch realen Koeffizienten beschrieben werden. Mit G1 und realen Koeffizienten können nur Systeme beschrieben werden, deren beide Pole auf der reellen Achse der komplexen Ebene liegen.

Christian

Nachprüfen was physikalisch vorliegt: zwei kaskadierte 1pol Filter oder ein echtes 2poliges. Letzteres kann sich mit geeigneten Bauteilen wie zwei 1pol Filter verhalten. Umgekehrt gehts nicht, d.h. zwei 1pol Filter werden nicht schwingfähig.

MfG JRD

Hi Wolfgang,

Wolfgang Weinmann schrieb:

Ja.

Nein.

Dein gedanklicher Fehler liegt darin, dass Du meinst, G2 bezeichne den _schwingenden_ Fall. Das stimmt nicht allgemein. In der Form von G2 wird der schwingungs _fähige_ Fall angegeben, der deinen nicht schwingungsfähigen Fall G1 mit einer Dämpfung d > 1 mit einschließt.

Volker.

Ok - vielleicht k=F6nnen wir ja generell mehr Licht ins dunkle zu bringen:

Es sind gewisse Fragmente, die fehlen alles unter einen Hut zu bringen:

der Term [a*s=B2 + b*s + 1] =3D 0 gesetzt gibt ja die Polstellen. Bei den Polstellen wird der Nenner zu 0 und die Verst=E4rkung geht gegen unendlich.

Die =DCbertragungsfunktion G(s) ist der Quotient der Laplacetransformierten Ausgangssignal/ Laplatetr. Eingangssignal. Damit kann ich ein beliebiges AUsgangssignal berechnen, indem ich die Transferfunktion mit dem Laplacetransformierten Eingangssignal mujltipliziere und das Ergebnis in den Zeitbereich r=FCcktransformiere.

Soweit so gut.

s ist der komplexe Parameter sigma + j omega von der Laplacetransformation.

Wie komme ich jetzt aber darauf, da=DF wenn die Polstellen komplex sind, da=DF es dann schwingt?

ich wei=DF, da=DF eine Schwingung mit exp(j*omega*t) dargestellt werden kann. Und exp(sigma + j*omega*t) kann eine zunehmende, oder abnehmehmende Schwingung darstellen. Und dieses s ist ja auch Bestandteil der Laplace-Transformation.

Ich sehe jedoch kein Zusammenhang der komplexen Polstellen und der daraus ableitbaren Schwingf=E4higkeit. F=FCr mich ist s einfach "nur" ein Bestandteil der Transformation.

So - wer kann weiterhelfen?

Gru=DF

Wolfgang

MfG JRD

Hallo Wolfgang,

Wolfgang Weinmann schrieb:

Nein - nicht die Verstärkung des Systems geht gegen unendlich, lediglich der Betrag der Übertragungsfunktion geht gegen unendlich - s. u.

Ja.

Ja.

s ist die unabhängige Variabe einer Laplace-Transformierten bzw. einer Übertragungsfunktion.

Das System schwingt nicht. Es wird für 0 < d < 1 lediglich als schwingungsfähig bezeichnet. Dies deshalb, weil bei kleinen positiven Dämpfungen die Übergangsfunktion ein gedämpft sinusförmiges Einschwingen in den neuen stationären Endwert zeigt.

Nein - "dieses s" eben gerade nicht.

Die Variable s der Laplace-Transformsation - die komplexe Kreisfrequenz s - hat unmittelbar nichts mit einem auf- oder abklingenden Sinussignal zu tun.

Vergegenwärtige Dir, dass die Laplace-Transformierte eines Zeitsignals eine komplexe Funktion der komplexen Variablen s ist. D. h., die Laplace-Transformation transformiert eine reelle Funktion der Zeit in eine komplexe Funktion der komplexen Variablen s. Diese Variable s wird durch die Definitionsgleichung der Laplace-Transformation in einem willentlichen Akt neu eingeführt, gleichzeitig wird in der Definitionsgleichung wegen der Integration über der Zeit t die Transformierte keine Funktion der Zeit mehr sein. Im Kern ersetzt die Laplace-Transformation also den eindimensionalen rellen Variablenraum "Zeitachse", in dem wir Zeitsignale beschreiben, durch einen komplexen Variablenraum "s-Ebene", in dem wir Transformierte beschreiben. Diese s-Ebene darf man nicht verwechseln mit konkreten Parametern sigma und omega konkreter auf- oder abklingender Sinussignale.

Eine Übertragungsfunktion ist - definiert als Quotient der Transformierten von Ausgangs- und Eingangssignal - auch nichts anderes als eine komplexe Funktion der komplexen Kreisfrequenz s. Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion bezeichnen bestimmte Punkte in der s-Ebene, an denen mit der Übertragungsfunktion jeweils etwas bestimmtes passiert - nämlich, dass Nenner bzw. Zähler zu null werden. Das hat zunächst nicht direkt etwas mit konkreten Verstärkungen für irgendwelche konkreten Signale zu tun.

Dann berechne für Dein Beispielsystem bei Sprunganregung die ausgangsseitigen Zeitsignale in Abhängigkeit der Dämpfung d durch Rücktransformation des Ausgangssignals im Frequenzbereich aus und vergegenwärtige Dir die Pollage in Abhängigkeit von d...

HTH, Volker.

en

Die Transferfunktion besitzt die gleiche Form wie der Frequenzgang (=DCbergang von s -> j*omega) F=FCr eine bestimmte Frequenz kann dann dieser als F(omega) =3D F * exp(j

• Phi_F) dargestellt werden. Wenn jetzt ein sin.-Eingangssignal vorliegt, wird die Amplitude mit Betrag(F) mutlipliziert und die Phasenwinkel addieren sich:

E_: kompl. Eingangssignal E: Betrag(E_) Phi_(E_): Winkel des kompl. Zeigers F_: Frequenzgang A_: Ausgangssignal

E_ =3D E * exp(Phi_E); F_ =3D F * exp(Phi_F); --> A_ =3D E * F * exp[(J* (Phi_a + Phi_F)]

Das hei=DF, wenn F > 1, wird das Eingsngssignal in der Amplitude zunehmen. Und im Bereich einer Polstelle kann das doch der Fall sein.

ist klar - etwas unsaubere Ausdrucksweise von mir...

Hmmm - schwer f=FCr mich zu verstehen: Das Laplace-Integral ist

f/s) =3D Integral (0 ...oo) [ f(t) * exp(-st) dt] mit s =3D sigma + j*omega

In Worten: Die Laplacetransformierte ist das uneigentliche Integral von 0 ... oo des Funktionsproduktes f(t) mal exp(-st) =FCber der Zeit t.

und dieses exp(-st) stellt doch eine ged=E4mpfte/unged=E4mpfte/zunehmende Sinusschwingung dar. Und dieses s ist doch auch das s der Transferfunktion.

siehe oben. Das s im Laplaceintegral ist aber eine auf- oder abklingende Sinusfunktion. Und das s nach der Transformation ist ja noch genau dieses s.

Hm - ich habe einfach in das Taschenbuch der Regelungstechnik geschaut: Dort ist beim PTs folgendes zu sehen:

D>1 --> zwei reelle negative Pole

D =3D 1 --> zwei gleiche reelle negative Pole

D -1: Die konjungiert-komplexen Pole wandern auf einem Kreis auf die rechte Seite

en

Die Transferfunktion besitzt die gleiche Form wie der Frequenzgang (=DCbergang von s -> j*omega) F=FCr eine bestimmte Frequenz kann dann dieser als F(omega) =3D F * exp(j

• Phi_F) dargestellt werden. Wenn jetzt ein sin.-Eingangssignal vorliegt, wird die Amplitude mit Betrag(F) mutlipliziert und die Phasenwinkel addieren sich:

E_: kompl. Eingangssignal E: Betrag(E_) Phi_E: Winkel des kompl. Zeigers des Eingangsignales F_: kompl. Frequenzgang A_: kompl. Ausgangssignal

E_ =3D E * exp(j*Phi_E); F_ =3D F * exp(j*Phi_F); --> A_ =3D E * F * exp [(j* (Phi_E + Phi_F)]

Das hei=DF, wenn F > 1, wird das Eingangssignal in der Amplitude verst=E4rkt am Ausgang auftreten. Und im Bereich einer Polstelle kann das doch der Fall sein.

ist klar - etwas unsaubere Ausdrucksweise von mir...

Hmmm - schwer f=FCr mich zu verstehen: Das Laplace-Integral ist

f/s) =3D Integral (0 ...oo) [ f(t) * exp(-st) dt] mit s =3D sigma + j*omega

In Worten: Die Laplacetransformierte ist das uneigentliche Integral von 0 ... oo des Funktionsproduktes f(t) mal exp(-st) =FCber der Zeit t.

und dieses exp(-st) stellt doch eine ged=E4mpfte/unged=E4mpfte/zunehmende Sinusschwingung dar. Und dieses s ist doch auch das s der Transferfunktion.

siehe oben. Das s im Laplaceintegral ist aber eine auf- oder abklingende Sinusfunktion. Und das s nach der Transformation ist ja noch genau dieses s.

in

geschaut: Dort ist beim PTs folgendes zu sehen:

D>1 --> zwei reelle negative Pole

D =3D 1 --> zwei gleiche reelle negative Pole

D -1: Die konjungiert-komplexen Pole wandern auf einem Kreis auf die rechte Seite

Hallo Wolfgang,

Wolfgang Weinmann schrieb:

Es gibt kein Signal, das nur an einer bestimmten "Stelle" der s-Ebene der Laplace-Transformation liegt! Jedes Zeitsignal wird in der frequency domain durch eine komplexe Funktion, die (hoffentlich) in der gesamten s-Ebene definiert ist, beschrieben.

Nein - "dieses exp(-st)" stellt hier gerade nicht eine gedämpfte/ungedämpfte Sinusschwingung dar.

Man sollte zwei Dinge sauber auseinanderhalten:

1. Eine auf- oder abklingende Sinusschwingung kann man sich als Realteil eines in einer komplexen Ebene rotierenden Zeigers Z als

Z = Z0 * exp(sigma*t) * [cos(omega*t) + j*sin (omega*t)]

bzw. mit

s = sigma + j*omega

als

Z = Z0 * exp(s*t)

vorstellen. Die komplexe Ebene, in der dieser Zeiger rotiert, kann man durch ein kartesisches Koordinatensystem j*omega über sigma veranschaulichen. Der Zeiger rotiert quasi "auf der Oberfläche des Blatts Papier", auf das man das Koordinatensystem der komplexen Ebene zeichnet.

1. Mit Anwendung der Laplace-Transformation berechnet man die Transformierte eines (hier) Zeitsignals, indem man 2a) in einem willkürlichen Akt die Zeitfunktion mit einer komplexen Exponentialfunktion exp(-s*t) multipliziert und 2b) über der Zeit von t=0 bis t=inf integriert. Durch 2a) führt man die unabhängige Variable s neu in die Transformierte ein, durch 2b) wirft man die alte unabhängige Variable Zeit t hinaus, da das Integral nicht von der Zeit t abhängt.

Diese komplexe Exponentialfunktion exp(-s*t) kann man durch komplexe Funktionswerte in einem kartesischen Koordinatensystem j*omega über sigma veranschaulichen. Die komplexen Funktionswerte schweben quasi in der dritten Dimension "über dem Blatt Papier", auf dem man das Koordinatensystem der komplexen Ebene zeichnet.

Die komplexen Ebenen j*omega über sigma beider Veranschaulichungen für

1. und 2. sehen nur blöderweise gleich aus. Eine auf- oder abklingende Sinusschwingung mit einer bestimmten Kreisfrequenz, Startamplitude und Auf- oder Abklingzeitkonstante und eine allgemeine komplexe Funktion sind aber dennoch verschiedene Dinge. Ein Mathematiker könnte das wahrscheinlich viel besser erklären.

Fast. Die Pole sind bestimmte Orte in der s-Ebene (also bestimmte Werte s1, s2, s3, ... der unabhängigen Variablen s, die durch die Laplace-Transformation eingeführt wird), in deren Umgebung die Übertragungsfunktion betragsmäßig gegen unendlich hohe Funktionswerte strebt.

HTH, Volker.