--- so che il newsgroup piu' adatto non e' questo ma negli altri 2 in cui ho scritto non vedo arrivare il mio post
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Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto per comprendere un passaggio che il mio libro di elettronica fa per ricavare il vettore della corrente in un condensatore in regime sinusoidale.
Qui trovate le formule:
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Partendo dalla 1 e la 2 viene ricavata la 3, che mi e' chiara in tutti i passaggi che la portano alla sua forma finale. Pero' non capisco perche' nella 4 (in entrambe le forme) V rimanga vettore e non appaia solo come modulo. Non dovrebbero essere corrette le forme che ho scritto io (la 5)? Dico questo (correggetemi se sbaglio) perche' io sapevo che il vettore che origina una sinusoide puo' essere rappresentato tramite numero complesso in forma cartesiana o polare. In entrambe le rappresentazioni pero' appare il modulo del vettore e non il vettore stesso.
Esempio: v(t)=5sen(wt+pi/2) -> il suo vettore ha modulo 5 e forma un angolo di 90 gradi con l'asse t (si sovrappone all'asse v) ->
il vettore sotto forma di numero complesso puo' essere 5j o 5
Dall'intero tuo post mi sembra di capire che non ti è molto chiaro un concetto che cerco di spiegare.
Esiste una corrispondenza biunivoca:
- tra i punti di un piano cartesiano (dove puoi usare le coordinate cartesiane (x,y) o le coordinate polari) e i numeri complessi (che possono essere rappresentati nella forma z = x + iy o nella forma z = R e^jw)
- tra i punti di un piano cartesiano e i vettori bidimensionali
- tra i vettori bidemensionali e i segnali sinusoidali del tipo "Vsen(wt + a)" (in questo caso, per i vettori non si tratta di grandezze fisiche a carattere vettoriale) Quindi anche tra:
- tra i numeri complessi e i segnali sinusoidali del tipo "Vsen(wt + a)"
Sono solo corrispondenze biunivoche, non sono uguaglianze. Queste corrispondenze biunivoche sono state introdotte e sono utilizzate perchè sono utili, perchè danno una rappresentazione grafica e per altri motivi.
Ognuno di questi oggetti matematici
- numeri complessi
- vettori bidimensionali
- sinusoidi ha la propria convenzione grafica per essere rappresentato quando lo si scrive. E' fondamentale conoscere la convenzione usata nel proprio libro (anche se in genere sono usate sempre le stesse).
Le convenzioni che ho imparato ai miei tempi quando ho studiato queste cose prevedevano che V con la linea sopra usata in questo ambito rappresenta il numero complesso associato per corrispondenza biunivoca alla sinusoide Vsen(wt + a) all'istante t=0, quindi questo numero complesso ha modulo pari a V e fase pari a "a". Al passare del tempo il numero complesso ruota attorno all'origine del piano complesso in senso antiorario con velocità angolare pari a w. L'importante però è che questa rappresentazione indica un numero complesso. Il vettore (rotante) veniva rappresentato con V(t) con la linea sopra.
Quindi, dando per buona questa convenzione, quelle scritte sono uguaglianze tra numeri complessi. La 4) è esatta perchè il numero complesso I (con la linea sopra) è sempre sfasato di 90 gradi rispetto a V (con la linea sopra) qualunque sia la fase di V (con la linea sopra) . La 5) (scritta da te) non è corretta perchè il numero complesso I (con la linea sopra) è sempre un numero immaginario puro (parte reale nulla, fase =
90 gradi).
Anche qui la stessa confusione. Ad essere precisi, non è che il vettore origina la sinuoside, c'è una corrispondenza biunivoca tra il vettore e la sinuoside. Come c'è una corrispondenza biunivoca tra i vettori e i numeri complessi.
Ora stai parlando dei numeri complessi, che hanno la loro rappresentazione.
Rappresentazione numeri complessi.
Cartesiana z = x + jy dove x = parte reale y = parte immaginaria
Polare z = R e^jw dove R = modulo (del numero complesso) w = fase
Quindi nella prima rappresentazione NON compare il modulo, c'è solo nella seconda. In ogni caso, si tratta del modulo del numero complesso, non del modulo del vettore. Stai rappresentando il numero complesso, non il vettore.
Il senso è giusto, ma anche qui solita confusione. Gli assi a cui ti riferisci sono gli assi cartesiani x y del piano complesso dove x è la parte reale e y la parte immaginaria, quindi non sono gli assi t e v. L'asse orizzontale contiene i numeri reali (parte immaginaria nulla), l'asse verticale contiene i numeri immaginari (parte reale nulla). Ad un certo istante t, il numero complesso associato alla sinuoside si trova in un certo punto del piano complesso, al passare di t il punto ruota in senso antiorario attorno all'origine con velocità angolare w.
Cosa vuol dire? Vp*sen(wt+pi/2) è il segnale che varia nel tempo, è una sinuoside Non è il vettore.
Il fattore j (unità immaginaria) introduce uno sfasamento di 90 gradi. Quando moltiplichi un numero complesso per j, lo sfasi di 90 gradi. Se non metti la j, I (con la linea sopra) e V (con la linea sopra) avrebbero la stessa fase (e invece sono sfasati di 90 gradi).
La 7) è un'uguaglianza tra quantità reali (non complesse), non è presente la j. Xc senza la linea sopra rappresenta un numero reale (ha parte immaginaria nulla). La 6) è un'uguaglianza tra quantità complesse. Si tratta di un numero immaginario puro (con parte reale nulla)
Come conclusione, ripeto, non fare confusione tra:
- sinusoide
- numero complesso che è possibile associare per corrispondenza biunivoca alla sinuoside
- vettore che è possibile associare per corrispondenza biunivoca al numero complesso (o alla sinuoside) E non fare confusione tra le convenzioni grafiche per rappresentare questi oggetti matematici.
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