Chciałbym rozwiać moje wątpliwości dotyczące teorii próbkowania sygnałów.
Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i większej niż B (czyli z przedziału (-B,B)) oraz jeśli mamy nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany od -nieskończoność do +nieskończoność, to możemy dokładnie odtworzyć sygnał próbkowany. Dowód rozumiem tak:
- x(t) (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na FFT.
- Przedział całkowania możemy ograniczyć do (-B,B).
- Jeśli podstawimy za t=n/2B, gdzie n od -nieskończoność do
+nieskończoność, to całka FFT dla f(n/2B) ma postać współczynnika zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n. (Źródło:
Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od - nieskończoność do +nieskończoność, podstawiając próbki w miejsce współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale (-B,B) przyjmuje te same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału. Biorąc z tej funkcji tylko przedział (-B,B), możemy dokładnie odtworzyć nasz próbkowany sygnał.
Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania. Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania. Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość próbowania f_s, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości f = |n * f_s
- f_0], gdzie n * f_s to wielokrotność częstotliwości próbkowania leżąca najbliżej f_0.
Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT. Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość próbkowania jest >= od największej składowej, to aliasing nie wystąpi. Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.
Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego powyższe twierdzenie?
Łopatologicznie proszę. :)