No estas considerando el espacio hueco que queda entre las espiras y las paredes de la ventana, creeria que segun lo bien que ajuste cada hilera en las dimensiones de la ventana ira cambiando quien genera area minima.
---
--- Yo hago este analisis que no tiene en cuenta como se acomodan las espiras, solamente que presenten "el mismo dibujo". Si tengo un determinado alambre donde N espiras ocupan un area rectangular Ao , 2N espiras ocuparan 2*Ao, pero al esquema le achico las longitudes un factor raiz(2) el area sera la misma. Y justamente (salvando el redondeo) 0.85 = 0.6 * raiz(2)
---
De todas formas, en el caso que nos ocupa, el área ocupada por ambos devanados es prácticamente la misma, como bien apuntaste en tu demostración.
Saludos, Jorge
P.D.: El problema parece interesante. Nunca me lo había planteado. Me parece que de seguir así vamos a tener que seguir el planteamiento en el grupo de matemáticas... :)
--- Saludos. Eduardo.
PD: Esto se parece al problema de empaquetado de esferas de Kepler.
En 044Oe.3096762$ snipped-for-privacy@telenews.teleline.es del 21/8/05 20:52, "Pedro" escribió:
No he seguido tu demostración para saber dónde tienes el error pero lo cierto es que he hecho yo otra demostración y, en contra de lo que me dictaba mi intuición y que yo tenía entendido, para ambos casos sale el mismo porcentaje de aprovechamiento de espacio. Es fácil de calcular:
Tenemos 4 conductores de radio r apilados tal como indicas. Si unimos sus centros tenemos una figura, un rombo, que repetida nos completa todo el espacio. Así que podemos emplearla para calcular el porcentaje de aprovechamiento total. La superficie del rombo es base por altura: Sr = 2r raiz(4r^2-r^2) = = 2 raiz(3) r^2 Y la superficie ocupada por conductor es la superficie de 4 sectores circulares de 120º, 60º, 120º y 60º lo que hace un total de 360º, es decir, la superficie de un círculo. La superficie ocupada por conductores es: Sc = (pi) r^2
El porcentaje de aprovechamiento de espacio es: Sc / Sr = = (pi) r^2 / 2 raiz(3) r^2 = (pi) / (2 raiz(3)) = 90,69%
Por tanto el porcentaje de aprovechamiento de espacio es independiente del radio de los conductores y siempre igual a un 90,69%.
En mi demostración se obtiene un área ocupada por los conductores que, a efectos prácticos, es la misma tanto para conductores de 0.85mm como para conductores de 0.60mm. Cito textualmente el resultado que obtuve:
"Siendo para cada caso el area lateral de un devanado de 100 espiras de hilo de 0.85, y otro de 200 espiras de hilo de 0.60:
62.01 frente a 62.17. -> prácticamente el mismo espacio ocupado
No veo que exista ningún error, salvo posibles errores acumulativos debidos al cálculo numérico de las integrales.
Si obtienes una figura parecida a un rombo, es que no estás apilando los conductores de la forma que yo indico. Apilándolos paralelos 2 a 2, se obtiene esa especie de 'rombo', que es en realidad algo más parecido a una hipocicloide de tipo astroide:
formatting link
En tal caso, puedes hacer una aproximación de primer órden considerando que tal curva es en realidad un rombo. Tal aproximación sería exacta si los cables tuviesen sección rómbica en lugar de circular.
En mi caso, hice los cálculos considerando el apilamiendo de los conductores 3 a 3, de forma que la figura que queda es una hipocicloide de tipo deltoide:
formatting link
El área de tal figura se calcula con las integrales que expuse en mi anterior post, claro siempre, salvo error u omisión.
decir,
Pero eso no tiene mucha lógica. Según este resultado el área del conductor es menor que el espacio que queda entre conductores. La aproximación es bastante pesimista, porque el área del rombo es mucho mayor que el área que queda entre conductores reálmente.
Mas bien ese sería el ratio área del círculo/área del rombo, que por supuesto va a ser constante para todo r.
Definiendo el aprovechamiento del espacio como:
|área útil - área no útil|/(área total) *100 [%] (#1)
y normalizando a 1m^2, según tus cálculos quedaría:
Sc = Sr*0.9069 área total = Sc + Sr (totales promedio) = 1m^2 área útil = Sc área no útil = Sr
calculamos:
Sr*0.9069 + Sr = 1m^2 -> Sr = 1m^2/1.9069 = 0.5244m^2 Sc = (1/1.9069)*0.9069 = 0.4756m^2
Por lo que el aprovechamiento del espacio sería (según mi definición #1):
Tomando los datos de mi ejemplo (para el caso de hilos con diámetro
0.60):
Voy a transformar las cantidades para obtener el radio Sc/Sr que tu obtuviste con tu modelo, para que los resultados cuadren en igualdad de condiciones:
Si alguien tiene ganas y tiempo, sería curioso hacer este sencillo cálculo para el caso de conductores de diámetro 0.85mm, a ver si se mantienen los porcentajes.
En snipped-for-privacy@individual.net del 22/8/05 18:14, "Jorge Sánchez" escribió:
Bueno, no supuse que eran errores debido al cálculo por que dijiste exactamente:
"Es decir, que rigurosamente, ocupa mas espacio el devanado realizado con hilo de menor calibre..!!"
Yo sólo quería apuntar que matemáticamente son exactamente iguales.
Sí hacemos el mismo apilamiento, lo que pasa es que tú te estás refiriendo a la hipocicloide que representa el espacio hueco entre 3 conductores y el rombo al que yo me refiero simplemente es la figura que resulta al unir los centros de 4 conductores que se encuentran apilados. Esta figura del rombo la escojo por que me interesa, y me interesa por que es una sección que si la repetimos me cubre todo es espacio (como un mosaico) y si resuelvo el problema en esa superficie, ya lo tendremos resuelto para todo el apilamiento de conductores. Dentro del rombo que escojo hay 2 hipocicloides deltoides.
Creo que tiene toda la lógica del mundo:
Sr es el área total utilizada en el apilamiento, es decir, superficie de conductores más superficie de huecos (el área del rombo)
Sc es el área de los conductores dentro del rombo, es decir, dentro de Sr.
El área del hueco, 2 hipocicloides, es la diferencia de ambas, es decir, Sh = Sr - Sc = 2 raiz(3) r^2 - (pi) r^2 = = (2 raiz(3) - (pi)) r^2
Si quiero saber el área de una deltoide no tengo nada más que dividir Sh para 2. Mis resultados son:
Ai = Sh / 2 = (raiz(3) - (pi)/2) r^2
Ai85 = 0,02912659 mm^2 y a ti te daba 0,1579468280 mm^2 Ai60 = 0,014512903 mm^2 y a ti te daba 0,0843246749 mm^2
Y créeme si te digo que tus resultados son los incorrectos ya que incluso lo he comprobado gráficamente con un programa CAD.
Y para mí eso ha sido siempre el porcentaje de aprovechamiento, al menos lo que yo quiero expresar que es que el 90,69% de espacio en donde hay devanado está ocupado por conductores. El restante 9,31% de espacio son huecos, es decir, se pierde el 9,31% del espacio.
No entiendo qué representa este porcentaje.
Si hablamos de porcentajes ya dejo claro con mis cálculos que, independientemente de la definición de aprovechamientos de espacio, los porcentajes serán independientes de los valores de r puesto que todas las superficies que tomemos son una constante por r^2 y al hacer la fracción del porcentaje siempre se anulará r de la fórmula resultante.
A la vista del resultado que obtuve (**), tal afirmación era rigurosamente cierta.
Bien, y tienes razón (más abajo, aclaraciones).
a
el...
Correcto. Ahora si me ha quedado claro. No interpreté correctamente lo que apuntabas, y suponia otra construcción geométrica distinta, que obviamente, era incorrecta.
mayor
Aclarado mas arriba.
Sh
lo
Bien, aquí es donde viene mi corrección:
1º - El factor "sqrt(r^2x^2)" es en realidad "sqrt(r^2 - x^2)" (las prisas) 2º - El término "v = r*cos(tan(sqrt(3)))", es "v = r*cos(atan(sqrt(3)))" (las prisas de nuevo)
Así con todo esto, queda el siguiente resultado, en el que voy a aprovechar la simetría del deltoide para expresarlo todo con una sola integral: (de las dos integrales que expuse, la primera estaba mal, pero cualquiera de las dos da como resultado la semi-área total)
En snipped-for-privacy@individual.net del 23/8/05 13:22, "Jorge Sánchez" escribió:
Pues sí, yo estaba totalmente convencido de que ocupaba menos espacio el de conductores de menor sección y ya ves, lo que pasa a veces con los suponeres y las intuiciones.
ElectronDepot website is not affiliated with any of the manufacturers or service providers discussed here.
All logos and trade names are the property of their respective owners.